二次函数教案（通用）

二次函数教案【教学目标】1让学生掌握二次函数的几种形式，并能根据题意选择一种适合题意的形式进行解题；2进一步培养学生分类讨论的思想，让学生理解分类的标准，会根据图象讨论二次函数的最值情况；3让学生利用图象理解二次方程根的分布的充要条件；4让学生进一步理解二次函数、方程、不等式三者之间的关系【教学重点】二次函数的性质、二次方程根的分布【教学难点】二次方程根的分布【例题设置】例1（二次函数解析式的三种形式），例2（二次函数最值的讨论），例3（二次方程根的分布）【教学过程】第一课时（二次函数性质）例1已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，且在区间上有最大值8，求的解析式法一：设（）不等式的解集为是方程的两个根，根据韦达定理，有，故依题意，当时，故， 法二：依题意，可设（），不等式的解集为，故法三：依题意，可设（），在区间上的最大值是，故点评：二次函数的解析式有三种形式：一般式：（）顶点式：（）两点式：（）（其中为方程的两根）这里分类的依据是什么？我们知道若在上为连续函数，则其最值是在边界点或极值点取得，故主要讨论极小值点是否在区间内，要分3类；因最大值只能在边界点处取得，故只要分两类（其实质是讨论与的大小思考：讨论在区间上的最值最大值：最小值：求二次函数解析式的关键是根据条件选用上述恰当的解析式形式并要熟悉三种形式的互换例2已知函数记在区间上的最小值为，求；记函数在区间上的最大值为，求解：当时， 当时，当时， 当时，当时，点评：二次函数（）的图象是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标是当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，越靠近对称轴的点函数值越小；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，越靠近对称轴的点函数值越大【课堂小结】讨论二次函数的性质宜结合其图象进行【教后反思】第二课时（一元二次方程根的分布）例3已知方程根的情况如下，分别求实数的取值范围记记方程的两根分别为，则有两正根；法一：（韦达定理）法二：（几何法）两根都小于1法一：法二：类似地，师生一起探讨符合题意的充要条件，并逐步剔除多余的条件法三：（这里由于，故该条件可略去）点评：对于非零分布的情况宜用几何法讨论一个根大于1，一个根小于1解：有一根在区间内，另一根在区间内解：有两异根有且仅有一个在内解：两根都在区间内解：点评：二次方程的根的分布一般情况下需要从四个方面考虑：二次项系数的符号；判别式的符号；区间端点函数值的正负；对称轴与区间端点的关系.二、研究二次方程的实根分布情况根的情况等价条件方法几何法（记）利用代数法亦可先解出二次方程（或不等式）的解集，然后再根据情况进行讨论代数法（利用韦达定理，注意其前提是，即原方程有解）方程有两正根方程有两负根方程的两个实根都大于方程的两个实根都小于特别地，方程有一正根，有一负根方程有一个根大于，另一个根小于方程的两个实根都在区间内一般地，如果函数在区间上连续，且那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根繁方程的两个不等实根中，有且只有一个根在区间内，且繁方程在区间内有两个相等的实根繁方程的两个不等实根分别在区间和内繁【课堂小结】1一元二次方程的根的分布问题既是高考的重点又是难点，解决根的分布问题的一般方法是：根据题意作出符合根的分布的图象，由图象的形象直观得出它所必须满足的条件，从而确定相关参数的取值范围2近几年高考经常出现这样的试题：以三次函数切入，通过求导，将其转化为考察二次函数的性质（包括二次方程根的分布）3附：近几年考查二次函数的试题一览表文史类：06年全国文2205年全国文19全国文21浙江文20浙江文20湖南文19辽宁21湖北文17湖南文21重庆文19湖北文1904年全国文19陕西文22全国文21浙江文21【教后反思】第三课时（习题讲评）1方程的两个根都比2大，则的取值范围为解析： 2当时，方程的一根大于1，一根小于1解析：只须，故3若方程有两个不相同的实根，则的取值范围为解析：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根4已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的范围；若方程两根均在区间内，求m的范围解析：条件说明抛物线与轴的交点分别在区间和内，画出示意图，得.据抛物线与轴交点落在区间内，列不等式组5（06全国，文22）设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围法一：，其判别式若，即，当，或时，在上为增函数，符合题意所以若，即时，恒有，在上为增函数，符合题意所以若，即时，令，解得当时，为增函数；当时，为减函数依题意，解得，所以综上所述，的取值范围为法二：依题意，在区间和上恒成立，故，或，若解得，解得，解的取值范围为【课堂小结】1一元二次方程的根的分布问题既是高考的重点又是难点，解决根的分布问题的一般方法是：根据题意作出符合根的分布的图象，由图象的形象直观得出它所必须满