山西省忻州市高考数学 专题 二次函数根的分布复习教学案（无答案）（通用）

二次方程根的分布教学过程（二）教学活动：活动一：探究一元二次方程根的0分布：例1 求实数的取值范围，使关于x的一元二次方程分析：如果问大家，这个方程怎样才有两根？显然，利用判别式大于或等于0.强调可以等于0，因为方程有重根的说法。判别式涉及方程的系数，而系数含，所以就得到了含的不等式，从而得出的取值范围.（1）有两个正根分析：方程要有两个正根，需要怎样的约束条件限制m的范围？方程的系数含，又涉及根的问题，自然联系到根与系数的关系。设方程的两根分别为容易得到 【设计意图】从最简单的两正根分布说起，学生自然联系到韦达定理。由此可见，一元二次根的分布问题可以利用判别式和韦达定理解决。引导学生总结规律：一元二次方程根的0分布（即涉及根的正负）：抓住分布情 况两正根两负根一正根，一负根得出结论分析：【设计意图】一元二次根的分布问题，两正根在例题中解决了，学生不难类比得到两负根和一正一负根需满足的条件。（2）有一个根为0，一个根为正根解法一：解法二：一个根为0，代入方程得到，经检验，方程的另一个根为8，符合题意【设计意图】一元二次根的分布问题，如果涉及到具体根为0，可以将其代入方程求得参数，再进行检验。为以后进一步研究恰有一根在某个区间的参数问题埋下伏笔。练习：若一元二次方程有两个负根，求的取值范围.活动二：探究一元二次方程根的非0分布：例1 求实数的取值范围，使关于x的一元二次方程（3）有两个根，且都大于1错解：由，得这里并不能保证两根都大于1，举反例解法一：可把根的非0分布转化为0分布。设方程的两根分别为由，则需保证，即解法二： 分析：将一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的零点问题。二次函数的图像是一条抛物线，要使两根都大于1,即需二次函数图像与x轴的交点都要在（1，0）的右侧。而二次函数图像位置情况受开口方向，判别式，对称轴，特殊点所影响。如何限制这几个影响要素，从而达到所要的函数的图像呢？经探究，得到【设计意图】一元二次根的分布问题，除了用判别式和韦达定理的方法解决外，还可以利用图像法，从四个要素考虑如何把图锁定。（4）有一个根大于2，一个根小于2解法一：分析：不需要对称轴，因为对称轴的位置可以任意。不需要判别式，因为开口向上，（2，）在x轴下方，二次函数图像一定会与x轴有两个交点。解法二：设方程的两根分别为由，则需保证，即（5）有一个根小于2，一个根大于4解法一：解法二：设方程的两根分别为由，则需保证，即，即，不能单纯用判别式解出，还得结合求根公式，比较麻烦，不如解法一简洁。【设计意图】让学生比较韦达定理法和图像法的优劣，韦达定理法并不是通性通法。图像法有时能让解题快捷。引导学生总结规律：一元二次方程根的非0分布（即涉及根的大小）：抓住分布情况两根都小于两根都大于,一根小于，一根大于一根小于，一根大于大致图象（）得出结论思考：非0分布的上述问题都可以转化为0分布，从而利用判别式和韦达定理得出不等式组。0分布是否也可以用非0分布所研究的四要素来做呢？学生容易得到：（1）（2）（3）（4）（5）继续探究例1 求实数的取值范围，使关于x的一元二次方程（6）有两个根，且都在（-2,3）内分析：缺少其中任何一个条件，都不能使两根都在（-2,3）内（7）一个根在（0,1）内，一个根在（1,4）内分析，（0,1）区间端点值发生变号，说明在在（0,1）内f（x）有一个零点；（1,4）区间端点值发生变号，说明在在（1,4）内f（x）有一个零点，从而说明一个根在（0,1）内，一个根在（1,4）内【设计意图】一元二次方程根的分布问题，层层推进，先从一个分界点出发，再从两个分界点研究，最后再从三个分界点，四个分界点研究。不管根如何分布，把握好图像的四要素，只要能将图锁定就是王道。有时并不同时需要四个要素，若其中的部分要素已经能将图锁定，就已足够，如果此时考虑了四个要素，仅是增加了计算量。引导学生总结规律一元二次方程根的非0分布（即涉及根的大小）：抓住分布情况两根都在内一根在