平面图形的翻折 苏教版

平面图形的翻折苏州市第三中学 陆冬林【教学目标】通过本节课的复习，通过几何画板的直观演示，使学生进一步认识到：平面图形翻折为空间立体图形，要正确作图，要正确分析翻折前后点、线、面的相互位置关系及变化，综合所学知识解证有关问题。培养学生运动变化观点和分析问题解决问题的能力。 【教学重点】平面图形折叠成空间立体图形，弄清折叠前后位置关系、所成角及距离关系。会用所学知识解证有关问题。 【教学难点】如何正确利用折叠知识解证有关问题。【教学设备】多媒体 【教学过程】一、思考与引入 （动画）在平面图形ABCD的翻折过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？图形的翻折：此类问题最关键的是要了解翻折前后的点、线、面之间的位置关系的变化情况。应注意以下几点：(1)将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转。(2)一般来说，位于折痕同侧的平面图形内的元素及其相对位置关系和数量关系在折叠前后不发生变化，位于折痕异侧两个平面图形的元素及其相对位置关系和数量关系则发生变化。二、例题例1：已知正方形ABCD的边长为1，分别取BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于点G。（1）求异面直线GA与EF所成的角。（2）求直线AE与平面GEF所成的角。（3）求二面角A-EF-G的大小。分析：首先思考：在折叠过程中哪些在变，哪些不变？有没有规律？（从位置关系、度量关系角度） 针对题 教师提出：如何构作二面角的平面角？需要哪些度量信息？ 怎样得到这些信息？本题答案是：二面角AFEG的大小为。小结：解决平面图形的翻折问题，应首先作出平面图形和立体图形的直观图，以便确定哪些元素发生了变化？哪些元素没有发生变化。而那些没有发生变化的元素的位置关系和数量关系往往就是解题的关键所在。例2：如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿对角线BD将BDC折起，使点C移到点E，当三棱锥E-ABD的体积最大时，求点D到平面ABE的距离。分析：首先思考：翻折过程中哪些在变，哪些不变？有没有规律？（从位置关系、度量关系角度）三棱锥E-ABD体积何时有最大值 针对点D到面ABE的垂线难作的特点，考虑用等积转换，提出问题：如何求ABE的面积？考虑到平面BDE平面ABD，过E作出BD的垂线，进而用三垂线定理作出AB边上的高，问题得解。如上图在确定垂线后，如何寻求有关度量信息，通过左右两图发现EF=CF，进而用平面图形求有关线段的长度，即空间问题转化为平面问题。本题答案是：点D到平面ABE的距离是小结：对某些折叠后不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，将空间问题转化为平面问题加以解决。例3：.如图：正三棱锥ABCD，底面边长为，侧棱长为,过点B作与侧棱AC、AD相交的截面。在这样的截面三角形中，求： (1)周长的最小值； (2)周长最小时截面面积。 分析：空间图形求表面上折线段最小值时，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线中线段最短”的方法来解决。 针对题（2），由正三棱锥的对称性，知BEF是一个等腰三角形，由平面图形求出BE的长，进而求出截面面积。 本题答案是：（1） （2）三、总结处理折叠问题方法体现了立体几何的常用方法：通过“降维”把空间图形化为平面图形。处理翻折问题的特点是要善于通过观察、比较、分析，发现折叠过程中一些不变的位置关系和度量关系，探求有利于解题的重要信息。四、思考与练习BDAEC1.等腰RtABC,角C为直角,沿斜边AB上的高CD为折痕，折叠成一个60的二面角.使B到E的位置，已知斜边AB=2。求：顶点C到平面ADE的距离。 顶点A到平面CDE的距离.AC与平面CDE所成的角的正弦值。2. 如图是边长为1 m的正方