山东省青岛市2020届高三数学5月第二次模考试卷 文（含解析）

2020年青岛市高考模拟检测数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求解出集合，再根据交集的定义得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果.【详解】当时，则为纯虚数可知“”是“复数为纯虚数”充分条件；当为纯虚数时，解得：可知“”是“复数为纯虚数”的必要条件；综上所述，“”是“复数为纯虚数”的充要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定问题，属于基础题.3.已知平面向量，的夹角为，且，则（ ）A. 3B. 9C. 12D. 15【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算法则求解即可得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.函数在区间上的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，分析可得答案【详解】根据题意，f（x）xsinx+ln|x|，其定义域为x|x0，有f（x）（x）sin（x）+ln|（x）|xsinx+ln|x|f（x），即函数f（x）为偶函数，在区间2，0）（0，2上关于y轴对称，排除A、D；又由x0时，xsinx+lnx0，排除C；故选：B【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析5.已知在中，分别为角，的对边，为最小角，且，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.【详解】 由余弦定理得：，即解得：或为最小角 本题正确选项：【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.6.已知为坐标原点，点，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上的一点，且，与轴交于点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据垂直关系可知为通径，从而得到；利用平行关系可知，从而得到结果.【详解】由可知：为通径 且为中点 本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用问题，属于基础题.7.若，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】,故,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等。8.已知圆：和直线：，在上随机选取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆相切时的斜率可得直线与圆相交时的取值范围，从而根据几何概型得到结果.【详解】直线方程为：当直线与圆相切时可得：，解得：直线与圆相交时，所求的概率：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型问题，关键是能够利用直线与圆的位置关系求解出参数的取值范围.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据三视图中的垂直关系和长度关系可依次验证各个侧面三角形，进而得到结论.【详解】由三视图可得直观图如下图所示：由三视图可知：平面 ，又，和为等腰直角三角形又， 平面 又， 不是等腰直角三角形，不是等腰直角三角形综上所述，侧面为等腰直角三角形的共有个本题正确选项：【点睛】本题考查三视图还原几何体的问题，属于基础题.10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】g(x)sin(2x2)由f(0)得，sin，又，.由g(0)得sin(2)，将选项代入验证知B符合【此处有视频，请去附件查看】11.已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】代入，则直线单调递减，又函数存在最小值则且，解得故选12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由OAOBOCR，且ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，由棱锥的体积公式，可得OM，由勾股定理可得球的半径，运用球的体积公式计算可得【详解】由O为球心，OAOBOCR，可得O在底面ABC的射影为ABC的外心，AB6，可得ABC为AC斜边的直角三角形，O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得OMABBCOM124，解得OM2，R2OM2+AM24+1216，即R4，球O的体积为R364故选：D【点睛】本题考查球的截面性质和体积的计算，考查点在平面上的射影，考查化简计算能力，属于基础题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式求得，利用诱导公式求得结果.【详解】 又 本题正确结果：【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题.14.已知实数，满足条件，则的最大值是_【答案】3【解析】【分析】作出题中所给的约束条件对应的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得答案.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域如图所示：令，得，从而上下移动直线，可知当直线过点A时，取得最大值，由解得，此时，故答案是：3.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要准确地画出约束条件对应的可行域，找出最优解，将最优解代入目标函数，求得结果.15.直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若平分，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据对称性和角平分线性质可得AOC60，进而可求出C点坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，从而可计算双曲线的离心率【详解】OC平分AOB，AOCCOB，由双曲线的对称性可知BOyCOy，AOC2COy，AOC60，故直线OC的方程为yx，令xb可得xb，即C（b，b），代入双曲线方程可得31，即2，b2a，ca，e故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题16.设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据求得的范围，根据垂直关系可得；通过求得；由题意可知，从而得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】，即又，即 本题正确结果：【点睛】本题考查导数的几何意义，关键是能够通过导函数的解析式得到斜率的取值范围，再利用集合的包含关系构造不等关系求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列的各项均为正数，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】【分析】（1）根据等比中项的定义得到，可构造出，可证得结论；通过等比数列通项公式求得，进而根据与关系求出的通项公式；（2）通过分组求和的方式求得，由求出所求的最小值.【详解】（1）由题意得：，即 数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列 （2）由（1）得：，即 或（舍去）所以不小于的的最小值为【点睛】本题考查等比数列的判定、等比数列通项公式的求解、分组求和法求数列的前项和的问题，关键是能够采用构造的方式将递推关系式化为符合等比数列定义的形式.18.如图，在圆柱中，点、分别为上、下底面的圆心，平面是轴截面，点在上底面圆周上（异于、），点为下底面圆弧的中点，点与点在平面的同侧，圆柱的底面半径为1，高为2.（1）若平面平面，证明：；（2）若直线平面，求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，由线面垂直的性质证得结论；（2）通过面面平行将问题转化为到平面的距离；取中点，则可通过证明平面可知所求距离即为，从而在等腰直角三角形中求得结果.【详解】（1）面面，面面又，平面 平面平面 （2）连接，平面，平面平面又直线平面， 平面平面到平面的距离等于到平面的距离取线段的中点，平面所以到平面的距离为为弧中点 在等腰直角三角形中，所求距离为【点睛】本题考查利用线面垂直性质定理证明线线垂直、点到平面的距离的求解问题，关键是能够通过面面平行将问题转化为平面上任一点到另一平面的距离的求解.19.鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据（单位：）如下：5677.588.443.54.54.35432.541.666.55.55.73.15.24.456.43.57433.46.94.85.65566.53676.6（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为，它能否被选为种鱼？说明理由；（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为，中华彩鲤样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值；（3）如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率.【答案】（1）能；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据样本数据中能被选为种鱼的身长数据，可知能被选为种鱼；（2）根据分层抽样原则得到中华彩鲤的样本数，根据平均数计算方法求解得到结果；（3）列出与体长最长的尾中的尾组合到一起的所有情况，根据古典概型求得结果.【详解】（1）能被选为种鱼尾中国红鲤中有尾能被选为种鱼 尾中国红鲤样本中有尾能被选为种鱼样本数据中身长为和的中国红鲤能被选为种鱼身长为以下的中国红鲤不能被选为种鱼由于，所以该尾中国红鲤能被选为种鱼（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为尾所有样本数据平均值 （3）记体长最长的尾中华彩鲤为，其他尾中华彩鲤为与组合的中华彩鲤，共有，七种情况所以，体长最长的尾组合到一起的的概率为【点睛】本题考查抽样方法中分层抽样的应用、列举法解决古典概型中的概率问题，属于基础题.20.已知圆：，动点，线段与圆相交于点，线段的长度与点到轴的距离相等.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，其中在线段上，在线段上，求的最小值及此时直线的斜率.【答案】（1）；（2）4，.【解析】【分析】（1）根据已知条件可知等于点到直线的距离，由抛物线定义可得轨迹方程；（2）由三点共线，可根据向量坐标运算得到；根据抛物线定义可求得，利用基本不等式求得最小值；再根据最值成立条件求得点坐标，从而可求得直线斜率.【详解】（1）由题知：点到的距离等于到轴的距离加等于到直线的距离由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线所以动点的轨迹的方程为：（2）设，三点共线 与共线，整理得：由抛物线的定义得：由基本不等式：当且仅当时等号成立，即，即成立又 或或所以的最小值为，此时直线的斜率为【点睛】本题考查利用抛物线定义求解轨迹方程，直线与抛物线综合应用中的最值问题的求解，解决最值问题的关键是能够求解出积的定值，从而使问题转化为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出和的最小值.21.已知函数，.（1）若在上为单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且，求证：对定义域内的任意实数，不等式恒成立.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数单调递增可得，将问题转化为在上恒成立；利用导数求解出在的最小值，从而得到的取值范围；（2）将问题转化为证明当时，在和时分别得到需恒成立的不等式；令，通过导数研究单调性，结合可证得结论.【详解】（1）由已知的定义域为所以在上单调递增对任意，都有 即令，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减因为时，总有 （2）当时，对定义域内的任意正数，不等式恒成立，即时，因为当时，；当时，所以只须证：当时，；当时，令令，则当时，；当时， 所以是的极值点，从而有极小值，即最小值所以恒成立在上单调递增，又因为所以当时，即恒成立；当时，即恒成立所以，对定义域内的任意实数，不等式恒成立【点睛】本题考查已知函数在某一区间的单调性求解参数范围的问题、利用导数进行恒成立不等式的证明问题，证明不等式时，通过分析法将所证不等式进行转化，通过构造函数的方式，结合函数单调性证得结论.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知平面直角坐标系，直线过点，且倾斜角为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线与圆交于、两点，若，求直线的倾斜角的值.【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），