广东省东莞市2020届高三数学上学期期末调研测试试题 理（含解析）

广东省东莞市2020届高三数学上学期期末调研测试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】,集合，则故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复数的商的运算化简复数z，然后对复数z取模即可.【详解】则，故选：B【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的模的运算，属于基础题.3.假设东莞市市民使用移动支付的概率都为，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知是其中10位市民使用移动支付的人数，且，则的值为（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】【分析】由已知得X服从二项分布，直接由期望公式计算即可.【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），=6,则p=0.6故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题.4.已知向量，若，则实数的值为（ ）A. -2B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果=,=，则|的充要条件是.5.函数的图像大致为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 6.已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图可得该几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，由正方体体积减去圆柱体积的即可得到答案.【详解】由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，正方体的棱长为1，圆柱的体积为，所以几何体体积为；故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体，考查柱体体积公式的计算，考查空间想象能力和计算能力.7.二项式的展开式的常数项为（ ）A. B. 15C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到常数项.【详解】二项式 的展开式的通项公式为Tr+1（1）rx63r，令63r0，求得r2，展开式的常数项是15，故选：B【点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.8.在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可得b52,再利用对数的运算性质即可得出【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b50，可得b52则log2（b1b2b9）log29故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题9.过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出直线l的方程，求圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即,圆，圆心（0，3），半径r=3，圆心到直线l：的距离d=1，直线被圆截得的弦长l=2=故选：D【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式10.已知直线与曲线相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程,然后和已知切线方程y=kx+1对应系数相等，即可得到k值.【详解】ylnx，yf（x），设切点为（m，lnm），得切线的斜率为kf（m），即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：ylnm（xm），即yx+lnm1，直线ykx+1是曲线的切线，k，且lnm11，即lnm2，则me2，则k故选：A【点睛】本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力设出切点坐标是解决本题的关键11.已知奇函数的导函数为，且，当时恒成立，则使得成立的的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数g（x）xf（x），结合条件可得到函数g（x）的单调性和奇偶性，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，由图象可得x的取值范围【详解】由题意设g（x）xf（x），则g（x）xf（x）+f（x），当x0时，g（x）0，函数g（x）在（0，+）上为增函数，函数f（x）是奇函数，g（x）（x）f（x）（x）f（x）xf（x）g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（1）0得，g（1）0，函数g（x）的图象大致如图：不等式f（x）0，或，由函数的图象得，1x0或x1，使得f（x）0成立的x的取值范围是：（1，0）（1，+），故选：C【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题12.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,则圆锥的体积为,设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展开整理得R=所以外接球的体积为,故所求体积比为故选：A【点睛】本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设随机变量，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知确定曲线关于x1对称，可知P（X1），利用P（X2）得P（X0），可求P（0X1）【详解】随机变量XN（1，2），可知随机变量服从正态分布且X1是图象的对称轴，可知P（X1），又可知P（X0），则P（0X1）故答案为：【点睛】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查14.在中，角，所对的边分别为，已知，的面积为，则边_【答案】【解析】【分析】由三角形的面积可求得边b，然后利用余弦定理即可得到c边.【详解】已知，S=,解得b=4,由余弦定理abcosC=9+16-2解得c=故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题.15.实数，满足，且，则的最小值为_【答案】-11【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z3xy可化为y3xz，即斜率为3，截距为z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（4，-1）目标函数z3xy的最小值为z-12+1-11故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知函数，则的最小值为_【答案】-1【解析】【分析】令t=sinx,转为关于t的函数，求导，判断单调性，由函数单调性求最值即可.【详解】函数)=sinx-2,令t=sinx则h(t)=t-2,h(t)=1-6=0,则t=,可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最小值是h(或h(1),h(1)=-1h(,故函数的最小值为-1，故答案为：-1【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查换元法并利用导数求函数最值问题，考查计算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.【答案】（1） (2) 【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，可得首项和公差，即可求出通项；（2）求出等差数列的前n项和公式，然后利用裂项相消求和法即可得到结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知条件可知，解得：，.所以.（2） 因为 所以 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.18.如图，在中，角，所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若边上的中线的长为，且，求的长.【答案】（1） (2) 【解析】【分析】(1)将已知条件利用正弦定理和两角和差公式进行化简，即可得到角A；（2）直角三角形ABD中，由角A和BD长，可得AD和AB和AC长，在三角形ABC中，由余弦定理即可得BC长.【详解】（1）由正弦定理可得 ，.（2）在中，为的中点，在中，【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，底面，点是上的一个动点，.（1）当时，求证：；（2）当平面时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)由已知可得PA可证平面，所以，可证平面，从而得到证明；（2）连接交于，当平面时，以为原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求平面和平面PBD的法向量，利用两个法向量的数量积计算即可得结果.【详解】（1）因为底面，平面，所以又为菱形，连接交于，所以.又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面所以.（2）法一：因为平面，平面，平面平面，从而，平面，又因为.以为原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，设平面的法向量为因为，由，得，令，则，.设平面的法向量为，因为平面，可设，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，从而 法二：因为在平面中，在平面中，从而为二面角的平面角， 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查利用空间向量解决二面角的问题，考查空间想象能力和计算能力.20.如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限和所支出的维修费（万元）的几组对照数据：（年）23456（万元）12.5344.5参考公式：，.（1）若知道对呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）对照公式，计算相应数据，即可得到线性回归方程；（2）将x10，代入方程，即可求得结论【详解】（1）根据所给表格数据计算得，所以，关于的线性回归方程为.（2）由（1）得，当时，即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21.已知函数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值.【答案】(1) 函数的增区间为；的减区间为(2) 【解析】【分析】(1)对函数求导，解得单调递减区间，解得单调递增区间；（2）由，是函数的两个极值点，由韦达定理可知，然后用表示出，令，构造新函数判断单调性，由单调性求最值即可.【详解】（1）由题意知，的定义域为.，当时，解得；当时，.所以函数的增区间为；的减区间为（2）因为，从而令，得，由于，设方程两根分别为，由韦达定理可知，设，则因为，所以，又，所以，所以整理得，解得或.所以，所以在单调递减，故的最小值是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值，极值问题，考查构造函数处理问题的方法，综合性较强.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线公共点的极坐标；（2）设过点的直线交曲线于，两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 直线与曲线公共点的极坐标为， (2)-1【解析】【分析】(1)写出直线l和曲线的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线的参数方程代入曲线中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为联立方程，解得或所以，直线与曲线公共点的极坐标为，（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得：.因为的中点为，则.所以，即.直线的斜率为-1.【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属