广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）

广东省广州市2020届高三数学第二次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.已如集合，则（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可【详解】解：由10，即0，即解得，即，则R故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础3.某公司生产，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（ ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，；运行第二次，；运行第三次，；运行第四次，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B考点：程序框图5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知，其中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，所以，因为，所以，因此，从而，选D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.过双曲线 的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以,由双曲线定义得,因为PF,所以PF,因此，选A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值【详解】解：设A（s，t），yx32x2+2的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t，由点A在直线mx+nyl0（其中m0，n0），可得2m+2n1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）2（3）2（3+2）6+4，当且仅当nm时，取得最小值6+4，故选：C【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题10.函数 的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.若点与曲线上点距离的最小值为，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.【详解】因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.若，是夹角为的两个单位向量，向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据条件即可求出，从而可以求出，进而得出【详解】解：，；故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是_.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，是的内角，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知是递增的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2）的通项公式是等差数列与等比数列的乘积,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1）设等比数列的公比为，因为，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，所以数列的通项公式为解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，所以，是方程的两个根解得或因为是递增的等比数列，所以，则所以数列的通项公式为（2）由（1）知则，在式两边同时乘以得，-得，即，所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄/岁）26273941495356586061（脂肪含量/%）14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （）47 （）见解析；(2) ；%【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（）（） 因为，所以 由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 （2）因为回归方程为，即所以【或利用 】所以关于的线性回归方程为将代入线性回归方程得 所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）证明：取中点，连结，因为底面为菱形，所以 因为为中点，所以 在中， 为的中点，所以设,则，因为，所以 在中，为的中点，所以在 和 中，因为，所以 所以所以 因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面 （2）因为，平面，平面，所以平面所以 由（1）得，所以，所在的直线两两互相垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 设，则， 所以，设平面的法向量为，则 令，则，所以 设平面的法向量为，则 令，则，所以设二面角为，由于为锐角，所以 所以二面角的余弦值为 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1） ； （2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】（1）设动点的坐标为，因为 ， ， 所以，整理得 所以动点的轨迹的方程 （2）过点的直线为轴时，显然不合题意 所以可设过点的直线方程为， 设直线与轨迹的交点坐标为 ，由得 因为，由韦达定理得 =， = 注意到 =所以的中点坐标为 因为 点到直线的距离为 因为 ，即 ，所以直线与以线段为直径的圆相离【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.己知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x），x0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性（2）先求k的取值范围是，再证明f（2k）ln（2k）0然后证明x1+x22，即证（1）（1+t）28lnt，即证8lnt+（）（1+t）20，（t0）设h（t）8lnt+（）（1+t）2，t1则h（t）8lntt22t，t1由此能证明x1+x22【详解】（1）解：因为，函数的定义域为，所以 当时，所以函数在上单调递增 当时，由，得（负根舍去），当时，当时，所以函数在上单调递减；在上单调递增 综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得因为，且，下面证明设，则因为，所以所以在上单调递增，所以 所以的取值范围是 方法2:由，得到 设，则当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以由 因为时，且，要使函数有两个零点，必有所以的取值范围是 再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则所以即所以，即，要证，即证 即证，即证因为，所以即证，或证 设，即，所以所以在上单调递减， 所以所以 方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则所以即所以，即，要证，需证 即证，即证因为，所以即证 设，则，所以在上单调递减， 所以 所以 方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则所以即 要证，需证 只需证即证，即证即证 因为，所以，即 所以而，所以成立所以方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则由已知得即 先证明，即证明 设，则所以在上单调递增，所以，所证不等式成立 所以有 即因为（），所以，即所以 方法5:要证，其中 ， ，即证 利用函数的单调性，只需证明因为，所以只要证明，其中 构造函数，则 因为（利用均值不等式），所以在上单调递减 所以所以在上恒成立所以要证的不等式成立【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐