广东省东莞市2020届高三数学上学期12月月考试题 理 新人教A版

2020年12月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知复数，则复数 （ ）（A） （B） （C） （D）2 2 侧视图 2 2 2 正视图 俯视图 （3题图）2下列函数中，既是偶函数、又在区间单调递增的函数是 （ ）（A） （B） （C） （D）3一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).（A） （B） （C） （D）4、函数在处的切线与坐标轴所围图形的面积是（ ）（A） （B） （C） （D）5若实数满足则的最小值是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D）96有四个关于三角函数的命题：（ ） 其中假命题的是 （ ）（A）， （B）， （C）， （D），7离散型随机变量（ ）（A） （B） （C） （D）8如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第9行第4个数(从左往右数)为（ ）（8题图）（A） （B） （C） （D）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9已知 10 已知向量，则11（）展开式中的系数为10，则实数 12如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 13如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P（x，y）的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 。否是T=0，K=0T=T+KK=K+1输出K开 始结束（12题图）XYCBPA （13题图）（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.第14题图OBCA14.（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点,且,则对应的劣弧长为 15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 . 三解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.)16、( 本小题满分12分) 已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.（）求数列的通项; （）求数列的前n项和17、（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小18、（本小题满分14分）在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，分别为的中点。（）证明：；（）求二面角的余弦值；19. （本小题满分14分）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。20. （本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为(）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数 21（本小题满分14分）已知数列和满足，且对任意都有， .(1)求数列和的通项公式；(2)证明：.2020年11月东莞中学松山湖学校高三月考理科数学试题参考答案一、选择题12345678DCCBBABC二、填空题9. 10. 5 11. 2 12. 14 13. 4，14. . 15. 三、解答题16：（本题满分12分）解：（）由题设知公差，由成等比数列，得4分解得（舍去）6分故的通项8分（）由（）知9分由等比数列前n项和公式得12分17. （本题满分12分）解：（I）由正弦定理得2分因为所以,从而3分又，所以，则5分（II）由（I）知于是8分9分从而当 取最大值211分综上所述，的最大值为2，此时12分18. （本题满分14分）解：解法一：（）取中点，连结.且，2分， 又.4分（）.过作于，则，过作于，连结， 则.为二面角的平面角. 6分。又，.，且.在正中，由平几知识可求得，在中，二面角的余弦值为. 9分（）在中， ，. 10分设点到平面的距离为，.即点到平面的距离为. 14分解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.2分则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，3分ACSB.4分（）由（）得.设为平面的一个法向量， 则取，则 6分 又为平面的一个法向量， .8分二面角的余弦值为.9分（）由（）（）得为平面的一个法向量，点到平面的距离.12分19. （本题满分14分）解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，1分（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，4分（II）由题意知 整理得 ，由，可得，. 9分（III）由题意知 = = = 14分20（本题满分14分）解：（），且 2分解得 3分（），令，则，令，得（舍去）在内，当时， 是增函数；当时， 是减函数 5分则方程在内有两个不等实根的充要条件是6分即 8分（），假设结论成立，则有 9分，得 10分由得， 11分即，即令，（)， 12分则0在上增函数， ， 13分式不成立，与假设矛盾 14分21（本题满分14分）解析：(1)对于任意的nN*，都有，则代入， 得， ， 即，数列为以为首项，1为公差的等差数列a1b1，且a1b11，a1b1.2(n1)n1.an，bn1an. 5分(2)证明：an，bn，.所证不等式 ln(1n) ，即 ln(1n) 1. 7分先证明右边不等式：ln(1n)0时，f0时，ff0，即ln(1x)x.分别取x1