双曲线简几何性质

双曲线的简单几何性质,双曲线的标准方程,F1,F2,0,x,y,1.范围：,2.对称性：,关于x轴、对称;,y轴、,原点,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.,A1,A2,B2,B1,b,a,a,b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长.,2a,2b,焦点在x轴上的双曲线的几何性质,F1,F2,0,x,y,A1,A2,B2,B1,b,a,N(x,Y),M(x,y),Q,4.渐近线:,F1,F2,0,x,y,A1,A2,B2,B1,b,a,N(x,Y),M(x,y),Q,Y,X,F1,F2,A1,A2,B1,B2,焦点在x轴上的双曲线草图画法,5.离心率:,F1,F2,0,x,y,b,a,注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.,0,x,y,F1,F2,A1,A2,B2,B1,b,a,把方程化为标准方程得,可得:实半轴长:,虚半轴长:,半焦距:,焦点坐标是:(0,-5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,解:,a=4,b=3,渐近线方程有两种形式,说明:,求渐近线方程最简捷的办法是令常数项为零再分解因式,解:,练习1：双曲线,的实轴的一个端点A1，虚轴的一个,端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。,练习2：求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程.,6,18,|x|3,(3,0),y=3x,4,4,|y|2,(0,2),10,14,|y|5,(0,5),思考题:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.,Y,X,A1,A2,B1,B2,F1,F2,o,F2,F1,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？,双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程.,解:,建立如图直角坐标系,使小圆直径AA在x轴上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC，BB平行于x轴。,例3,关于x轴，y轴，原点对称,关于x轴，y轴，原点对称,例5点M（x,y）与定点F（5,0）的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.,y,0,d,所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。,例5点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数,求点M的轨迹.,3“共焦点”的双曲线,（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为,（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为,.,另解,例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30的直线交双曲