数学学科综合能力测试6

数学学科综合能力测试6一. 选择题: 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量=（3, -2）,=(-5, -1), 则等于( )A. (8, 1) B. (-8, 1)C. (4, 0.5) D. (-4, 0.5)2. 函数y=sin(-2x)+cos2x的最小正周期和最小值分别是( )A. , - B. , -C. , -2 D. 2, -23. 抛物线x2-8x-4y+a=0的焦点在x轴上, 则抛物线上一点P(m, 3)到次抛物线的准线的距离为( )A. 5 B. 4C. 3 D. 24. 已知函数y=f(x)的反函数是f -1(x)=,(0, ), 则方程f(x)=2020的解集为( )A. (-, 0) B. 0, 0.5C. D. (0.5, +)5. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍, 每个宿舍至少安排2名学生, 那么不同的分配方案共有( )A. 252种 B. 112种C. 70种 D. 56种6. 若圆锥被平行于底面的平面截成体积相等的两部分, 则所截得的小圆锥的侧面积与圆台的侧面积之比是 ( ) 7. 已知、为锐角,且+, 若 tan(+)=3tan, 则tan的最大值是( )A. B. C. D. 8. 三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面面积分别是S1, S2 (S2 S1), 棱BC与截面AB1C1的距离等于这个棱台的高, 则AB1C1的面积等于( )A. (S2-S1) B. C. (S2+S1) D. ()29. 已知x1是方程x+lgx=3的根, x2是方程x+10x=3的根, 则x1+x2的值是( )A. 6 B. 3C. 2 D. 110.设I=1, 2, 3, 4, A与B是I的子集, 若AB=1, 3,则称(A, B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A, B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”)( ) A. 4 B. 8C. 9 D. 16二. 填空题: 把答案填在题中横线上.11. 若直线l过点M(-3, -), 且被圆x2+y2=25所截得的弦长是8, 则l的方程是 .12.已知(3-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则a1+a2+a3+a4= .13. 若随机变量的分布列如下表:012345P2x3x7x2x3xx则E的值为 .14. 将向量y=2x的图象案向量a平移后得到函数y=2x+6的图象, 则向量a的个数有 个.三. 解答题:15. 有A、B两个口袋, A袋中有6张卡片, 其中1张写有0, 2张写有1, 3张写有2; B袋中有7张卡片, 其中4张写有0, 1张写有1, 2张写有2. 从A袋中取出1张卡片, B袋中取出2张卡片, 共3张卡片. 求:()取出的3张卡片都写0的概率;()取出的3张卡片数字之积是4的概率.16. 已知向量a=(cosx, sinx), b=(cosx, -sinx), 且x0, . 求:() ab及|a+b|;()若f(x)= ab-2|a+b|的最小值是-, 求的值.17. 如图, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB, 点E、M分别为A1B、C1C的中点, 过点A、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.ABCDA1B1C1D1EMN()求证: EM平面A1B1C1D1;()求二面角B-A1N-B1的正切值;()设截面A1BMN把该正四棱锥截成的两个几何体的体积分别为V1, V2(V10)中, a1=2, 前n项和公式Sn(nN)对所有大于1的自然数n都有Sn= f(Sn-1).()求数列an的通项公式;()若bn=( nN), 求证:(b1+b2+bn-n)=1.19. 已知椭圆(ab0)的两个焦点分别为F1, F2, 斜率为k的直线l过右焦点F2,且与椭圆分别交于A、B两点, 与y轴交于点C, 又B为线段CF2的中点.()若|k|, 求椭圆的离心率e的取值范围;()若k=, 且A、B到右准线的距离之和为, 求椭圆的方程.20. 已知函数f(x)=(a、b、cN), f(2)=2, f(3)3且f(x)的图象按向量e=(-1, 0)平移后得到的图象关于原点对称.()求a、b、c的值;()设0|x|1, 0|t|1,求证: |t+x|+|t-x|f(tx+1)|;()设x是正实数, 求证: f(x+1)n- f(xn+1)2n-2.数学学科综合能力测试（六）一、选择题1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C二、填空题11.3x+4y+15=0或x=-3 12.-210 13. 14.无数个三、解答题15.解()P= .()P= .16.解() .,x 0， ，cosx0. =2cosx.()f(x)=cos2x-4cosx,即f(x)=(cosx-)-1-22.x0， ，0cosx1. 当0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值-1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cosx=时，f(x)取得最小值-1-22，由已知得-1-22= ，解得= ; 当1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4.由已知得1-4= ,解得= ,这与1相矛盾.综上= 为所求.17.()证：设A1B1的中点为F，连结EF，FC1.E为A1B的中点，EF B1B.又C1M B1B，EFMC1，四边形EMC1F为平行四边形.EMFC1.EM 平面A1 B1C1D1，FC1 平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C 1D1.()解：作B1HA1H于H，连接BH，BB1平面A1B1C1D1，BHA1N.BHB1为二面角B-A1N-B1的平面角.EM平面A1B1C1D1，EM 平面A1BMN，平面A1BMN平面A1B1C1D1=A1N,EMA1N.又EMFC1，A1NFC1，又A1FNC1，四边形A1FC1N是平行四边形.NC1=A1F.设AA1=a,则A1B1=2a,D1N=a.在RtA1D1N中，A1N中，A1N= ,sinA1ND1= .在RtA1B1H中，B1H=A1B1sinHA1B1= .在RtBB1H中，tanBHB1= = .()解：延长A1N与B1C1交于P，则P平面A1BMN，且P平面BB1C1C，又平面A1BMN平面BB1C1C=BM,PBM.即直线A1N，B1C1，BM交于一点P.又平面MNC1平面BA1B1，几何体MNC1-BA1B1为棱台. = 2aa=a2, = aa= a2,棱台MNC1-BA1B1的高为B1C1=2a.V1= 2a(a2+ )= a3.V2=2a2aa- a3= a3 . .18.()解：f(x)=( +2)2,Sn=f(Sn-1)= 即亦即 是等差数列.公差为2，首项为2. = +(n-1) =n2.即Sn=2n2(nN).n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2.当n=1时，a1=2也适合上式.an=4n-2(nN).()b1+b2+bn-n=(1+1-1 3)+19.解()l过F2(C，0)，斜率为k，l的方程为：y=k(x-c).令x=0得y=-ck.C(0，-ck).又B为F2C的中点，B( ).将 代入椭圆方程，并结合c2=a2-b2化简整理得k2e2=e4-5e2+4 k , 5e4-29e2+0.解得 e1.()k= ,(5e2-4)(e2-5)=0.e2= a2=5b2.c=2b.椭圆方程为.联立x2+5y2=5b2与y=25 5(x-2b)得5x2-16bx+11b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2= b.依题意得A、B到右准线x= 的距离之和 b=1,a2=5.故椭圆方程为 20.()解：函数f(x)的图像按 =(-1，0)平移后得到的图象所对应的函数式为f(x+1)=函数f(x)的图象平移后得到的图象关于原点对称，f(-x+1)=-f(x+1).即aN，ax2+10.-bx+c=-bx-c.c=0.又f(2)=2, =2.a+1=2b,a=2b-1 ，又f(3)= 3，4a+16b 由，及a、bN得a=1,b=1.()证：f(x)= ,f(tx+1)=tx+ .f(tx+1)=tx+ =tx+ 2 =2.当且仅当tx=1时，上式取等号.但