广西钦州市2020届高三数学4月综合能力测试（三模）试题 文（含解析）

广西钦州市2020届高三数学4月综合能力测试（三模）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集为空集得到结果.【详解】集合，若，则a2.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了已知集合的交集的结果求参的问题，比较基础。2.等差数列中，则（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的概念得到公差，再由等差数列的通项公式得到结果.【详解】等差数列中， 根据等差数列的通项公式得到 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了等差数列的概念以及通项公式的应用属于基础题.3.已知函数，若，则实数（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】当a0时，f（a）=，当a0时，f（a）=log2a=2，由此能求出实数a的值【详解】当时，由得，解得，符合题意；当时，由得，解得，符合题意综上可得或，故选：D【点睛】当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围4.如图，是三世纪汉代赵爽在注解周髀算经时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，则三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为 故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在的区域（事实也是角）任一位置是等可能的5.下列函数中不是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的定义域以及函数的奇偶性的定义得到结果.【详解】对于A函数的定义域为不是关于原点对称的，故非奇非偶；对于B,定义域为R，是偶函数；对于C ,且定义域为关于原点对称，故是偶函数；对于D，是偶函数，定义域关于原点对称，满足故是偶函数.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性的应用，判断函数奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看是否满足.6.“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两个不等式的包含关系，得到结果.【详解】“”包含于“”这一范围，反之“”则不一定有“”，根据小范围推大范围得到“”是“”的必要而不充分条件.故答案为：B.【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系7.已知平面向量的模都为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则得到， ，再由向量的投影的几何意义得到结果.【详解】取BC的中点为N点，根据向量加法的平行四边形法则得到， ，平面向量的模都为,是直角三角形的中线则长度为，由向量投影的几何意义得到 故答案为：A.【点睛】这个题目考查了向量的加法法则以及投影的几何意义；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.8.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的.若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到年后质量是原来的，该物质余下质量不超过原有的，得到只需要.【详解】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，依此类推，得到年后质量是原来的，只需要 故结果为4.故答案为：B.【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题9.在学校举行一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：李明预测：甲队第一，乙队第三张华预测：甲队第三，丙队第一王强预测：丙队第二、乙队第三其中只有一个人的预测是正确的，则得到的前三名按顺序为：A. 丙、甲、乙B. 甲、丙、乙C. 丙、乙、甲D. 乙、甲、丙【答案】C【解析】【分析】根据题意写出三个人预测的成绩，由题意得到正确的是张华预测的是正确的.【详解】李明预测：甲队第一，乙队第三则前三名的顺序为：甲，丙，乙，王强预测：丙队第二、乙队第三则前三名的顺序为：甲，丙，乙，张华预测：甲队第三，丙队第一则前三名的顺序为：丙，乙，甲，根据题意得到张华预测的是准确的，故正确顺序为丙，乙，甲.故答案为：C.【点睛】这个题目考查的是逻辑推理，属于简单题目.这类题目关键是抓住题干提供的信息，通过其中两个推理，得到错误的一个推理，进而得到正确结果.10.在中，角的对边分别是，若，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角形三个角的关系得到结合正弦定理得到边再由面积公式得到结果.【详解】根据题干条件可得到，又因为 ，进而得到，由正弦定理得到根据面积公式得到 故答案为：A.【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.11.在直三棱柱中，点为棱的中点，则点到平面的距离等于（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥等体积法得到：三棱锥由几何图形的特点分别求出相应的底面积和高，代入上式得到距离.【详解】连接，设点到平面的距离为,根据三棱锥等体积法得到：三棱锥 在由，得到，三角形面积为，点到的距离即棱锥的高为；三角形，则三角形的高为,面积为，根据等体积公式代入得到， 故答案为：C.【点睛】本题涉及到点面距离的求法，点面距可以通过寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.12.已知直线与函数的图像交于三点，其横坐标分别是，.若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据条件得到分段函数的图像，找到三个交点的横坐标，原题等价于,即【详解】当时，对函数求导得到 原函数在，又因为，可大概画出分段函数的图像：根据有3个交点这一条件得到.根据图像得到函数的三个交点，横坐标一个等于0，一个小于0，一个大于0，令（舍去正值）故，是两直线的交点，,即 解得.故答案为：D.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡相对应位置上.13.已知为虚数单位，复数，那么_【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】复数，,故答案为：.【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，属于基础题.14.函数的值域是_【答案】【解析】【分析】将三角函数化一，再由三角函数图像的性质得到结果。【详解】函数 结合三角函数的性质得到值域为。故答案为：.【点睛】这个题目考查了三角函数的化一公式，以及三角函数的值域的求法，注意结合三角函数的图像的性质解决题目。15.已知直线是曲线的一条切线，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义以及切线的双重身份，得到【详解】直线是曲线的一条切线，设切点为 对函数求导得到由切线的几何意义，以及切点在曲线上，也在切线上，得到 联立以上式子得到 故答案为：.【点睛】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.16.已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设点联立准线和抛物线得到点根据等边三角形的性质得到，进而得到.【详解】设点，抛物线的焦点为,焦点到准线的距离为 将准线方程代入双曲线得到 根据等边三角形的性质的到双曲线的离心率为 故得到离心率为.故答案为：【点睛】双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答.17.如图所示，在平面四边形中，的面积是2.（1）求的大小；（2）若，求线段的长.【答案】 【解析】【分析】(1)由面积公式得到 进而求解；先根据已知条件得到，再由正弦定理得到，最终在中由余弦定理求得结果.【详解】在中， ，解得.由，得到，在中，由正弦定理有：，即在中由余弦定理有：【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图1，在边长为3的菱形中，已知，且.将梯形沿直线折起，使平面，如图2，分别是上的点.（1）求证：图2中，平面平面；（2）若平面平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】(1)根据图形中的线面关系得到，所以平面，进而得到面面垂直；（2）根据面面平行的性质得到，平面与平面相交，交线为，平面平面，代入体积公式即可得到结果.【详解】证明：由题意可知，因为平面，所以平面，所以，由图条件可知，又因为，所以平面因为平面，所以平面平面.(2) 因为平面与平面有公共点，所以若平面与平面相交，设交线为若平面平面，因为平面平面则，设又因为，所以.同理，由平面平面因为平面平面，平面平面所以所以设三棱锥底面上的高为，所以，所以由所以三棱锥的体积为【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和面面平行的性质在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直.19.为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男： 女： 根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值.请根据测量结果得到名学生身高的中位数中位数（单位：厘米），将男、女身高不低于和低于的人数填入下表中，并判断是否有的把握认为男、女身高有差异？参照公式：若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，试求从高三的男生中任意选出2人，恰有1人身高属于正常的概率.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据题干条件得到完整的茎叶图，由平均值的公式得到平均数；（2）根据卡方公式得到卡方值，进而做出判断；（3）身高属于正常的男生概率为，满足题意的概率为：.【详解】茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到：平均身高：男 女： 根据中位数的概念得到所以没有把握认为男、女身高有差异.（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生概率为因此选名男生，恰好一名身高正常的概率为【点睛】这个题目考查了卡方值的计算，以及茎叶图的应用；茎叶图的均值，是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果.20.已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆的交点为两点，线段的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由.【答案】（1） 见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆经过点，且离心率为，所以，又因为可得到参数值；（2）联立直线和椭圆方程，由韦达定理得到，故得到【详解】（1）因为椭圆经过点，且离心率为，所以又因为可解得，焦距为所求椭圆的方程为. 存在常数使恒成立.证明如下：由得设则又因为所以 ，所以因为线段的中点为，所以，所以，所以存在函数使恒成立.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数，.（1）若，讨论函数在其定义域上的单调性；（2）若在其定义域上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递减（2）【解析】【分析】（1）将代入函数表达式，对函数求导，得到导函数的正负，进而得到单调性；（2）原题等价于函数恰有两个零点，分和两种情况讨论函数的单调性，进而得到函数的变化趋势，得到函数的零点情况.【详解】由于的定义域为，且设，当时，所以在其定义域上单调递减若恰有两个零点，由于的定义域为，则函数恰有两个零点.当时在上单调递增，不符合题意.当时，由，得可得此时 令 ，当时，函数单调递减所以所以当时，函数单调递减所以，即所以在其定义域上恰有两个零点时，故【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和