江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2020届高三数学第三次调研考试试题（含解析）

江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2020届高三数学第三次调研考试试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】直接由补集运算得解。【详解】因为，所以【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题。2.已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为_【答案】-3【解析】【分析】整理为，利用它是纯虚数列方程，问题得解。【详解】因为因为复数是纯虚数，所以解得：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数的有关概念，考查计算能力，属于基础题。3.下图是一个算法流程图若输出的值为4，则输入x的值为_【答案】-1【解析】【分析】对的范围分类，利用流程图列方程即可得解。【详解】当时，由流程图得：令，解得：，满足题意。当时，由流程图得：令，解得：，不满足题意。故输入的值为：【点睛】本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题。4.已知一组数据6，6，9，的平均数是，且，则该组数据的方差为_【答案】【解析】【分析】由这组数据6，6，9，的平均数是可求得，结合可求得，再利用方差公式计算即可得解。【详解】因为数据6，6，9，的平均数是所以，整理得：又，解得：或此时都等于所以该组数据的方差为【点睛】本题主要考查了平均数的计算公式及方差计算公式，还考查了方程思想，属于基础题。5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为_【答案】【解析】【分析】计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解。【详解】由题可得：“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为【点睛】本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题。6.已知函数 则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由题可得：函数为奇函数，即可将不等式转化为：，对分类解不等式即可。【详解】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为【点睛】本题主要考查了函数奇偶性应用，还考查了分类思想及一元二次不等式的解法，考查转化能力，属于中档题。7.已知是等比数列，前项和为若，则的值为_【答案】14【解析】【分析】由及列方程组，即可求得，再利用等比数列前项和公式计算即可得解。【详解】设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：所以【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量计算，还考查了等比数列前项和公式，考查方程思想及计算能力，属于较易题。8.在平面直角坐标系中，双曲线（）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点若AOB的面积为，则该双曲线的离心率为_【答案】2【解析】【分析】由双曲线的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点可求得：，再由AOB的面积为列方程整理得：，问题得解。【详解】由题可得：双曲线（）的右准线方程为：，两条渐近线方程分别，由可得：由双曲线的对称性可得：所以AOB的面积为整理得：，即：所以该双曲线离心率为【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，还考查了方程思想及三角形面积公式，考查转化能力，属于中档题。9.已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为_cm3【答案】【解析】【分析】由题可得：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和，由锥体体积公式及圆柱体积公式计算得解。【详解】依据题意，作出如下直角梯形：将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，所得几何体体积等于一个圆柱的体积和一个圆锥的体积之和。其中圆柱的半径为，高为，圆锥的半径为,高为.由题中数据可知：【点睛】本题主要考查了空间思维能力，还考查了锥体体积公式及圆柱体积公式，考查计算能力，属于基础题。10.在平面直角坐标系中，若曲线与在上交点的横坐标为，则的值为_【答案】【解析】【分析】由题可得：，即可求得：，结合即可求得，对利用二倍角公式即可得解。【详解】由题可得：，解得：，又所以又，解得：所以【点睛】本题主要考查了方程思想及计算能力，还考查了同角三角函数基本关系，考查了二倍角的正弦公式，属于中档题。11.如图，正六边形中，若（），则的值为_【答案】【解析】【分析】连接交于点，连接交于点，利用向量的倍数关系及向量的加法公式可得：，再利用平面向量基本定理列方程求解即可。【详解】连接交于点，连接交于点，如下图：由题可得：为的中点，为的一个四等分点，且，为中点所以所以，所以【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及平面向量基本定理，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题。 12.如图，有一壁画，最高点处离地面6 m，最低点处离地面3.5 m若从离地高2 m的处观赏它，则离墙_m时，视角最大【答案】【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为，设米，分别表示出，在中利用余弦定理可得：，令，可得，结合二次函数的性质即可求得：时，最大，问题得解。【详解】如图，过点作垂线，垂足为设米，则在中，由余弦定理可得：（）.令，则当时，最大，此时最小，此时最大.即 时，视角最大.【点睛】本题主要考查了余弦定理及换元法，还考查了二次函数的性质及转化思想，考查计算能力，属于难题.13.已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】将“若对任意，总存在，使得成立”等价于，求得最大值为，的最大值、最小值分别为：，问题得解。【详解】不等式可化为：若对任意，总存在，使得成立，则：当时，的最大值为：当时，的最大值为：最小值为：所以可化为：，解得：.故：【点睛】本题主要考查了等价转化能力，还考查了二次函数的性质及反比例函数的性质，考查计算能力，属于难题。14.在平面四边形ABCD中， ，若， 则的最小值为_【答案】【解析】【分析】以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立平面直角坐标系，设，利用即可整理得：，可判断点在以原点为圆心，半径为的圆上，取，可得：，利用相似比可得：，将转为：，结合图象可得：当三点共线时，最小，问题得解。【详解】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，设，则，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上。在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小。此时最小为.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，还考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了转化能力及构造思想，还考查了两点距离公式，属于难题。二、解答题：本大题共6小题，共计90分15.在ABC中，b，c分别为角A，B，C所对边的长，（1）求角的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简可得：，再利用余弦定理即可求得：，问题得解。（2）利用余弦定理及可得：，再利用正弦定理即可得解。【详解】（1）在ABC中， 因为，由正弦定理可得:即， 由余弦定理得 又因为，所以（2）方法一：因为及，得，即，由正弦定理，得，所以 方法二：由正弦定理，得由，得，因为，所以，即 又因为，解得，因为在ABC中，所以.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理解三角形，考查化简能力及方程思想，还考查了计算能力，属于中档题。16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC平面DPC，E，F分别是PC，AD的中点求证：（1）BECD； （2）EF平面PAB【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）证明BEPC，即可证得BE平面PCD，问题得证。（2）取PB的中点H，连结EH，AH，证明四边形AFEH是平行四边形，问题得证。【详解】（1）在PBC中，因为，E是PC的中点，所以BEPC 又因为平面BPC平面DPC，平面BPC平面DPC，平面BPC， 所以BE平面PCD又因为平面DPC， 所以BECD（2）取PB的中点H，连结EH，AH在PBC中，又因为E是PC的中点，所以HEBC，又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点， 所以AFBC， 所以HEAF且，所以四边形AFEH是平行四边形，所以EFHA 又因为平面PAB，平面PAB， 所以EF平面PAB【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，还考查了线面平行的证明及面面垂直的性质，考查转化能力及空间思维能力，属于中档题。17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（）的上顶点为，圆经过点（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线交圆于另一点若PQN的面积为3，求直线的斜率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据题意可得：，由圆经过点可得：，问题得解。（2）当的斜率为0时，检验得不合题意，可设设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，设，解得：，由弦长公式可得：，由PQN的面积为3列方程可得：，即可求得：，问题得解。【详解】（1）因为椭圆的上顶点为，所以，又圆经过点，所以 所以椭圆的方程为 （2）若的斜率为0，则，所以PQN的面积为，不合题意，所以直线的斜率不为0 设直线的方程为，由消得，设，则， 所以 . 直线的方程为，即，所以 所以PQN的面积 ，解得，即直线的斜率为【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了弦长公式及三角形面积公式，考查计算能力及一元二次方程的求根公式，考查转化能力，属于难题。18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，求得直线的方程为，利用点F到AB与BD的距离相等列方程可得：，求得，问题得解。（2）建立直角坐标系，设，求得直线的方程为，利用点与关于直线对称可得：，利用四边形的面积为可得，整理得：，利用导数求得的最小值为，即可求得的最大值为，问题得解。【详解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系则，直线的方程为设（），因为点F到AB与BD的距离相等，所以，解得或（舍去） 所以ABF的面积为，所以四边形的面积为所以风筝面的面积为方法二：设，则在直角ABD中， 所以，解得或（舍去） 所以所以ABF的面积为，所以四边形的面积为所以风筝面的面积为 （2）方法一：建立如图所示的直角坐标系.设，则直线方程为，因为点A与关于直线对称，所以解得 因为四边形的面积为，所以， 所以 因为，所以设， 令，得或（舍去）列表如下：0单调递减极小值单调递增当时，取得极小值，即最小值，所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。方法二：设，则因为四边形的面积为，所以，即，所以过点作AB的垂线，垂足为T，则 因为，所以 （下同方法一）【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形面积公式，还考查了两点关于直线对称的坐标关系，还考查了利用导数求函数的最值及转化能力，考查计算能力，属于难题。19.已知数列满足（），（）（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，成等差数列 求数列的通项公式； 证明：【答案】（1）见解析；（2），见解析【解析】【分析】（1）对两边同除以并整理得：，结合即可证得是等比数列，问题得证。（2）设，由（1）可得，结合，成等差数列即可求得，问题得解。将转化成，令，且，即可再转化成，记（），利用导数即可求得，问题得证。【详解】（1）由，得，得，即， 因为，所以，所以（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列（2） 设，由（1）知， 所以，即，所以因为，成等差数列，则，所以，所以，所以，即 要证，即证，即证设，则，且，从而只需证，当时， 设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证【点睛】本题主要考查了等比数列的证明及转化能力，还考查了等差数列的概念及等比数列的通项公式，考查了换元法及利用导数求函数的最值，考查计算能力及化归能力，属于难题。20.已知函数（），是自然对数的底数（1）当时，求的单调增区间；（2）若对任意的，（），求的最大值；（3）若的极大值为，求不等式的解集【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出并整理为，结合即可求得函数的单调增区间.（2）对的取值分类，当时，经检验，不合题意；当时，即可利用（1）求得的增减性，并求得时，最小值为，可将转化为，不妨设，则，利用导数即可求得最大值为，问题得解。（3）当时，无极大值，当时，由的极大值为可求得，设，对范围分类，利用可得：当时，结合即可得解。【详解】（1）的定义域为 因为，令，因为，得， 因为， 所以的单调增区间是（2）当时，不合题意；当时，令，得或，所以在区间和上单调递减 因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为若，则，即不妨设，则 设（），则当时，；当时，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为（3）由（2）知，当时，无极大值，当时，在和上单调递增；在上单调递减，所以在处取极大值，所以，即 设，即，当，所以；当， 由（2）知，又，所以，且不恒为零， 所以在上单调递增不等式，即为，所以， 即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了分类思想及转化思想，考查化归能力及极值的判断，还考查了利用导数解不等式，考查计算能力，属于难题。数学（附加题）21.已知，矩阵的逆矩阵若曲线C在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求曲线C的方程【答案】【解析】【分析】利用矩阵与逆矩阵的关系即可求得，设为曲线C上的任意一点，利用矩阵对应的变换可得：代入即可得解。详解】由题意得，即， 所以，即矩阵 设为曲线C上的任意一点，在矩阵对应的变换作用下变为点， 则 ，即 由已知条件可知，满足，整理得：， 所以曲线C的方程为【点睛】本题主要考查了矩阵与其逆矩阵的关系，考查了方程思想及矩阵对应的变换，考查计算能力，属于中档题。22.在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点，的极坐标分别为，曲线的方程为（）（1）求直线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得，问题得解。（2）利用直线和曲线相切的关系可得：圆心到直线AB的距离等于圆的半径，列方程即可得解。【详解】（1）分别将，转化为直角坐标为，所以直线的直角坐标方程为 （2）曲线C的方程为（），其直角坐标方程为又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB的距离等于圆的半径.又圆心到直线AB的距离为，即的值为【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题。23.已知，若关于的方程有实根，求的取值范围【答案】【解析】【分析】由一元二次方程有实数根可得：，整理得：，对的范围分类解不等式即可。【详解】因为关于的方程有实根，所以，即当时，得；当时， 4，恒成立，即；当时，得，综上：所求的取值范围为【点睛】本题主要考查了一元二次方程