【绿色通道】2020高考数学总复习 2-3函数的奇偶数 新人教A版VIP

第2模块 第3节知能演练一、选择题1(2020珠海模拟)函数yx2(xR)是()A左减右增的偶函数B左增右减的偶函数C减函数、奇函数 D增函数、奇函数解析：yx2是开口向下的一条抛物线，yx2在(，0)上为增函数，(0，)上为减函数，不妨设yf(x)x2，则f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数答案：B2已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式是()Af(x)x(x2)Bf(x)|x|(x2)Cf(x)|x|(|x|2)Df(x)x(|x|2)答案：D3f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)3f(x)5g(x)2，若F(a)b，则F(a)等于()Ab4 Bb2Cb2 Db2解析：依题设F(x)3f(x)5g(x)23f(x)5g(x)2，F(x)F(x)4，则F(a)F(a)4，F(a)4F(a)4b.答案：A4定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能为()A0 B1C3 D5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，f(T)f(T)0，f()f()f(T)f()f()f()0，则n可能为5，选D.答案：D二、填空题5设函数f(x)为奇函数，则a_.解析：f(1)f(1)02(1a)00，a1.答案：16已知函数f(x)x2cosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：x1x2；xx；|x1|x2.其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是_解析：函数f(x)x2cosx显然是偶函数，其导数y2xsinx在0x时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x的取值离对称轴越远，函数值就越大，满足这一点当x1，x2时，均不成立答案：三、解答题7已知f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数p，q的值；(2)判断函数f(x)在(，1)上的单调性，并加以证明解：(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即.从而q0，因此f(x).又f(2)，.p2.(2)f(x)，任取x1x21，则f(x1)f(x2).x1x20,1x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x)在(，1)上是单调增函数8已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(x)在1,1上的解析式；(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数(1)解：只需求出f(x)在x(1,0)和x1，x0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x(1,0)时，x(0,1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，由f(0)f(0)f(0)，且f(1)f(21)f(1)f(1)，得f(0)f(1)f(1)0.在区间1,1上有f(x)(2)证明：当x(0,1)时，f(x).设0x1x21，f(x1)f(x2).0x1x20,2x1x210.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,1)上单调递减高考模拟预测1(2020江西高考)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2020)f(2020)的值为()A2 B1C1 D2解析：f(2020)f(2020)f(0)f(1)log21log221.答案：C2(2020四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是()A0 B.C1 D.解析：令g(x)，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数又g(x1)g(x)g()g()g()g()，g()0，f()0.故选A.答案：A3(2020山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：f(x4)f(x)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)f(25)f(1)f(1)，f(11)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(0)0.而f(x)在0,2上是增函数，f(1)f(0)0.f(25)f(80)f(11)故选D.答案：D4(2020全国卷)函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则()Af(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)f(x2)Df(x3)是奇函数解析：由题意f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，即f(x)f(2x)且f(x)f(2x)f(x)f(2x)f2(2x)f(x4)，f(x3)f(x1)f2(x1)f(x3)，故选D.答案：D5(2020天津滨海新区五所重点学校联考)定义在R上的增函数yf(x)对任意x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)求f(0)；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围解：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.(2)令yx，得f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)即f(x)f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(3)证法一：因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数f(k3x)f(3x9x2)f(3x9x2)，所以k3x0对任意xR成立令t3x0，问题等价于t2(1k)t20对任意t0恒成立令f(t)t2(1k)t2，其对称轴为x，当0即k0，符合题意；当0即k1时，对任意t0，f(t)0恒成立解得1k12.综上所述，当k12时，f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立解法二：由k3x3x9x2，得k3x1.u3x121，即u的最小值为21，要使对xR不等式k3x1恒成立，只要使k21.所以满足题意的k的取值范围是(，21)备选精题6(2020广东深圳八校联考)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围解：(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0.f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)解法一：要使函数f(x)在x2，)上为增函数，等价于f(x)0在x2，)上恒成立，即f(x)2x0在x2，)上恒成立，故a2