江苏省2020届高考数学二轮复习 第15讲　点 直线 平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题。一道填空题，常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等，要求考生对公理、定理、性质、定义等非常熟悉并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题；一道大题，常考线面的平行、垂直，面面的平行与垂直，偶尔也求确定几何体的体积，通过线段长度、线段长度比，点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系，要重视，要学会规范答题1. 直线a，b是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是_2.a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出以下命题：ab；a；.其中真命题是_(填所有正确命题的序号)如果直线l平面，给出下列判断：若直线ml，则m；若直线m，则ml；若直线m，则ml；若直线ml，则m.其中正确判断的序号是_3.已知A、B、C、D不共面，A在平面BCD上的射影为O，则ABCD，ACBD是O为BCD垂心的_(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)条件【例1】如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，求证：(1) MO平面PAC；(2) 平面PAC平面PBC.【例2】如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AD1，侧面PAD是正三角形，且与底面垂直，Q是AD的中点(1) 求四棱锥PABCD的体积；(2) M在线段PC上，PMtPC，线段BC上是否存在一点R，使得当t(0,1)时，总有BQ平面MDR？若存在，确定R点位置；若不存在，说明理由【例3】如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1) 求证：E、B、F、D1四点共面；(2) 若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面BCC1B1.【例4】如图，在矩形ABCD中，AD2，AB4，E、F分别为边AB、AD的中点，现将ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.(1) 求证：EF平面ABC；(2) 若平面ADE平面BCDE，求四面体FDCE的体积1. (2011福建)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_2. (2010湖北)用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中正确的命题有_(填所有正确命题的序号)3. (2009江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的是_(填所有真命题的序号)4.(2011浙江)下列命题中错误的是_如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面；如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面；如果平面平面，平面平面，l，那么l平面；如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面.5. (2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E、F分别是AP、AD的中点，求证：(1) 直线EF平面PCD；(2) 平面BEF平面PAD.6. (2010山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.(1) 求证：平面EFG平面PDC；(2) 求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比(2011南京一模)(本小题满分14分)如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点(1) 求证：A1D1平面AB1D；(2) 若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积(1) 证明：如图，连结DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中，因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1BD，且B1D1BD，所以四边形B1BDD1为平行四边形，(2分)所以BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，所以AA1DD1，AA1DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，(4分)所以A1D1AD. 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，故A1D1平面AB1D.(6分)(2) 解：(解法1)在ABC中，因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC，所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高. (10分)在ABC中，由ABACBC4，得AD2.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，所以B1BC的面积SB1BC424.所以三棱锥B1ABC的体积即三棱锥AB1BC的体积：VSB1BCAD428.(14分)(解法2)在B1BC中，因为B1BBC，B1BC60，所以B1BC为正三角形，因此B1DBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，B1D平面B1C1CB，所以B1D平面ABC，即B1D是三棱锥B1ABC的高. (10分)在ABC中，由ABACBC4得ABC的面积SABC424.在B1BC中，因为B1BBC4，B1BC60，所以B1D2.所以三棱锥B1ABC的体积VSABCB1D428. (14分)第15讲点、直线、平面之间的位置关系1. 过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条【答案】62. m、n是空间两条不同的直线，、是空间两个不同的平面，下面有四个命题： m，n，mn； mn，n，m； mn，mn； m，mn，n.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)【答案】3. 给出以下四个命题，其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直【答案】4. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A、B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题： PA平面MOB； MO平面PBC； OC平面PAC； 平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【答案】5. 直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCBB11，AB1.(1) 求证：平面AB1C平面B1CB；(2) 求三棱锥A1AB1C的体积解：(1) 证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，则BB1AB，BB1BC.又由于ACBCBB11，AB1，则AB，则由AC2BC2AB2，可知ACBC.又由BB1底面ABC，可知BB1AC，则AC平面B1CB，所以平面AB1C平面B1CB.(2) 解：三棱锥A1AB1C的体积VA1AB1CVB1A1AC1.(注：还有其他转换方法)6. 已知等腰梯形PDCB中(如图1)，PB3，DC1，PDBC，A为PB边上一点，且PA1，将PAD沿AD折起，使面PAD面ABCD(如图2)(1) 证明：平面PAD平面PCD；(2) 试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMAVMACB21；(3) 在点M满足(2)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.图1图2解：(1) 证明：依题意知CDAD，又 面PAD面ABCD， DC平面PAD.又DC面PCD， 平面PAD平面PCD.(2) 解：由(1)知PA平面ABCD， 平面PAB平面ABCD.在PB上取一点M，作MNAB，垂足为N，则MN平面ABCD，设MNh，则VMABCSABCh21h，VPABCSABCPA11，要使VPDCMAVMACB21，即21，解得h，即M为PB的中点(3) 连结BD交AC于O.因为ABCD，AB2，CD1，由相似三角形易得BO2OD. O不是BD的中心又 M为PB的中点， 在PBD中，OM与PD不平行 OM所在直线与PD所在直线相交又OM平面AMC， 直线PD与平面AMC不平行基础训练1. 相交或异面2. 3. 4. 充分必要例题选讲例1证明：(1) M，O分别是PB、AB的中点， MOPA，又 MO平面PAC，PA平面PAC， MO平面PAC.(2) 直线PA垂直于圆O所在的平面， PABC C是圆周上一点，AB是直径， BCAC.又PAACA， BC平面PAC. BC平面PBC， 平面PBC平面PAC.变式训练如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90.(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离(1) 证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD90，得BCDC.又PDDCD，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC平面PCD，因为PC平面PCD，故PCBC.(2) 解：如图，连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h，因为ABDC，BCD90，所以ABC90，从而由AB2，BC1，得ABC的面积SABC1.由PD平面ABCD及PD1，得三棱锥PABC的体积VSABCPD，因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又PDDC1，所以PC.由PCBC，BC1，得SPBC.由VSPBChh， h.故点A到平面PBC的距离等于.点评：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力例2解：(1) 连结PQ，则PQAD，由题意易得PQ，SABCD. 平面PAD平面ABCD且交线为AD，PQAD，PQ平面PAD， PQ平面ABCD， VPABCDPQSABCD.(2) 存在，R为BC的中点取R为BC中点，连结MR，DR，DM，则BQDR. BQDR，BQ平面DMR，DR平面DMR， BQ平面DMR.因此，R为BC中点，当t(0,1)时，总有BQ平面MDR，反之也成立变式训练如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13a，BC2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF2a.(1) 求证：C1E平面ADF；(2) 试在BB1上找一点G，使得CG平面ADF；(3) 求三棱锥DAB1F的体积(1) 证明： ABAC，D为BC中点，又E为AB的中点，连结CE交AD于O，连结FO，易知，故FOC1E.又FO平面AFD，C1E平面AFD，故C1E平面AFD.(2) 解：在平面C1CBB1内，过C作CGDF，交B1B于G.在RtFCD和RtCBG中，FCCB，CFDBCG，故RtFCDRtCBG.而ADBC，CC1AD且CC1CBC，故AD平面C1CBB1.而CG平面C1CBB1，故ADCG.又CGDF，ADFDD，故CG平面ADF，此时BGCDa.(3) 解： AD平面BCC1B1， VDAB1FVAB1DFSB1DFADB1FFDAD.例3解：(1) 如图，在DD1上取点N，使DN1，连结EN，CN，则AEDN1，CFND12.因为AEDN，ND1CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形从而ENAD，FD1CN.又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而FD1BE.因此，E、B、F、D1四点共面(2) 如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，BMBGtanBGMBGtanCFBBG1.因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM.又AB平面BCC1B1，所以EM平面BCC1B1.例4(1) 证明：(证法1)取线段AC的中点M，连结MF、MB.因为F为AD的中点，所以MFCD，且MFCD.在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BECD，且BECD.所以MFBE，且MFBE.所以四边形BEFM为平行四边形，故EFBM.又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF平面ABC.(证法2)延长DE交CB的延长线于点N，连结AN.在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BECD，且BECD.所以NBENCD，NEBNDC.所以NEBNDC.所以，即E为DN的中点又F为AD的中点，所以EFNA.又EF平面ABC，NA平面ABC，所以EF平面ABC.(证法3)取CD的中点O，连结OE、OF.折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以BECD，且BECD.所以BECO，且BECO.所以四边形BEOC为平行四边形所以EOBC.又EO平面ABC，BC平面ABC，所以EO平面ABC.因为F、O分别为AD、CD的中点，所以FOAC.又FO平面ABC，AC平面ABC，所以FO平面ABC.又FO、EO平面FEO，FOEOO，所以平面FEO平面ABC.因为EF平面EOF，所以EF平面ABC.(2) 解：(解法1)在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD2，AB4，E为AB的中点，所以ADE、CBE都是等腰直角三角形，且ADAEEBBC2，所以DEACEB45，且DEEC2.又DEADECCEB180，所以DEC90.CEDE，又平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，CE平面BCDE，所以CE平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高因为F为AD的中点，所以SEFDADAE221.所以四面体FDCE的体积VSEFDCE12.(解法2)过F作FHDE，H为垂足因为平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，FH平面ADE，所以FH平面BCDE，即FH为三棱锥FECD的高在折叠前，四边形ABCD为矩形，且AD2，AB4，E为AB的中点，所以ADE是等腰直角三角形又F为AD的中点，所以DF1.所以FHDFsin45.又SEDCCDBC424，所以四面体FDCE的体积VSEDCFH4.(解法3)过A作AGDE，G为垂足因为平面ADE平面BCDE，平面ADE平面BCDEDE，AG平面ADE，所以AG平面BCDE，即AG为三棱锥AECD的高