江苏省南京市2020届高三数学9月学情调研测试试题

江苏省南京市2020届高三数学9月学情调研测试试题注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中 xi一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上结束 开始 I1 S1 S2S输出S N Y （第4题图） I5 II2Y 1已知集合A x|1x5，xR ，Bx|x2n，nZ，那么集合AB中有 个元素2复数z(1bi)(2i)，其中bR，i为虚数单位若z是纯虚数，则实数b的值为 3已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为 4执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S的值为 5若函数f(x)a 是奇函数，则实数a的值为 6在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y24x的准线与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 7不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是 8已知函数f(x)2sin(2x) ()的图象关于直线x 对称，则f(0)的值为 ABCA1B1C1（第9题图） 9如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA13，则四棱锥A1 B1C1CB的体积是 10在数列an中，已知a11，an1an (nN*)，则a10 的值为 11已知ABC 的面积为3，且ACAB2，cosA，则 BC 的长为 12在菱形ABCD中，ABC60， E为边BC上一点，且6，则的值为 13在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，1)，点P为圆(x4)2y 24上任意一点，记OAP和OBP的面积分别为S1和S2，则 的最小值是 14若函数f(x)ax2ex1在xx1和xx2两处取到极值，且 2，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BCEC，F是BE的中点AEDFBC（第15题图） （1）求证：DE平面ACF；（2）求证：平面AFC平面ABE16（本小题满分14分）已知，为钝角，且sin，cos2 （1）求tan的值； （2）求cos(2)的值17（本小题满分14分）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Qbt，其中a，b为常数现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元（1）求函数f (x) 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值18（本小题满分16分）（第18题图） OlyxM在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，且直线l：x2被椭圆E截得的弦长为2与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上点M(1，0)（1）求椭圆E的方程；（2）求证：MRPQ19（本小题满分16分）已知函数f(x)lnx，g(x)x2（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线l的方程；（2）若a0，求函数(x)|g(x)2a2f(x)|在区间1，) 上的最小值20（本小题满分16分）如果数列an共有k(kN*，k4)项，且满足条件： a1a2ak0； |a1|a2|ak|1，则称数列an为P(k)数列（1）若等比数列an为P(4)数列，求a1的值；（2）已知m为给定的正整数，且m2 若公差为正数的等差数列an是P(2m3)数列，求数列an的公差； 若an其中q为常数，q1判断数列an是否为P(2m)数列，说明理由南京市2019届高三年级学情调研 数学参考答案及评分标准 2018.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分12 22 36 48 56 7 81 92 10 118 12 132 14 ，） 二、解答题：本大题共6小题，共90分15证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OFAEDFBC（第15题图） O因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，所以O为BD的中点又因为F是BE的中点，所以 在BED中，OFDE 4分因为OF 平面AFC，DE 平面AFC，所以DE平面AFC 6分 （2）因为四边形ABCD是矩形，所以ABBC又因为平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，AB面ABCD， 所以AB平面BCE 9分因为CF平面BCE，所以ABCF 在BCE中，因为CECB， F是BE的中点，所以CFBE 11分因为AB 平面ABE，BE 平面ABE，ABBEB，所以CF面ABE 又CF平面AFC，所以平面AFC平面ABE 14分16解：（1）因为cos2，cos22cos21，所以 2cos21，解得cos2 2分因为为钝角，所以cos从而sin 5分 所以tan2 7分（2）因为为钝角，sin，所以cos 9分所以 sin22sincos2()，cos212sin212()2 11分从而cos(2)cos2cossin2sin()() 14分17解：（1）由题意，P，Qbt，故当t3时，P，Q3b1 3分解得 a3，b 5分所以 P，Qt从而 f(x)，x0，3 7分（2）由（1）可得：f(x)() 9分因为x0，3，所以x11，4，故 2，从而 f(x)2 11分当且仅当，即x2时取等号所以f(x)的最大值为 答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元 14分18解：（1）因为椭圆1(ab0)的离心率e，所以e21，即a22b2 2分因为直线l：x2被椭圆E截得的弦长为2，所以点(2，1)在椭圆上，即 1解得a26，b23，所以椭圆E的方程为 1 6分（2）解法一：因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为ykxm设 P(x1，y1)，Q(x2， y2) 因为PQ的中点R在直线 l：x2上，故R(2，2km)联立方程组消去y，并化简得 (12k2)x24kmx2m260， 9分所以x1x2 （*）由x1x24，得12k2km 12分因为M(1，0)，故kMR2km， 所以kMRkPQ(2km)k2k2km2k2(12k2)1，所以MRPQ 16分解法二：设P(x1，y1)，Q(x2， y2)因为PQ的中点R在直线 l：x2上，故设R(2，t)因为点P，Q在椭圆E：1上，所以 两式相减得 (x1x2) (x1x2)2(y1y2) (y1y2)0 9分因为线段PQ的中点为R，所以x1x24，y1y22t代入上式并化简得 (x1x2)t (y1y2)0 12分又M(1，0)，所以 (21)(x2x1)(t0)(y2y1)0，因此 MRPQ 16分19解：（1）因为f(x)lnx，所以f (x) (x0)设直线l与函数f(x)的图象相切于点(x0，y0)，则直线l的方程为 yy0(xx0)，即 ylnx0(xx0) 3分因为直线l经过点(0，0)，所以0lnx0(0x0)，即lnx01，解得x0e因此直线l的方程为 yx，即xey0 6分（2）考察函数H(x)g(x)2a2f(x)x22a2lnxH(x)2x (x0)因为a0，故由H(x)0，解得xa 8分 当0a1时，H(x)0在1，)上恒成立，H(x)在区间1，)上递增，所以 H(x)minH(1)10，所以(x)min1 11分 当a1时，H(x)在区间1，a上递减，在区间a，)上递增，所以 H(x)minH(a)a2(12lna) () 当12lna0，即a，) 时，H(x)mina2(12lna)0， 又H(1)10，所以(x)min0() 当12lna0，a(1，) 时，H(x)mina2(12lna)0， 所以(x)mina2(12lna) 综上 (x)min 16分20解：（1）设等比数列an的公比为q因为数列an为P(4)数列，所以a1a2a3a40，从而 1qq2q30， 即 (1q)( 1q2)0所以q1 又因为|a1|a2|a3|a4|1， 所以4|a1|1，解得a1 或 3分（2） 设等差数列an的公差为d因为数列an为P(2m3)数列，所以a1a2a2m30，即 0 因为12m32(m2)，所以a1a2m32am2，从而 (2m3)am20，即am20 6分 又因为 |a1|a2|a2m3|1，且d0，所以 (a1a2am1)(am3am4a2m3)1，即 (m2)(m1)d1，解得 d 因此等差数列an的公差为d 9分若数列an是P(2m)数列，则有： a1a2a2m0；|a1|a2|a2m|1因为 an 且q1，所以 0； （*）1 （*）当m为偶数时，在（*）中，0，0，所以（*）不成立 12分当m为奇数时，由（*）（*）得： 3 又因为 q1，所以 3， 解得qm 因为m (m2)为奇数，所以qmq4，所以 q4，整理得(2q21)(q21)0，即 q21，与q1矛盾 综上可知，数列an不是P(2m)数列 16分 南京市2019届高三学情调研考试 数学附加题参考答案及评分标准 20180921【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分 A选修42：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A ，向量 ， ，且A，所以 A 3分所以 解得 5分（2）因为矩阵M (adbc0)的逆矩阵为M1，且矩阵A ， 8分所以 A1 10分B选修44：坐标系与参数方程解：将曲线 C：6sin的极坐标方程化为直角坐标方程，得x2(y3)29，因此，曲线C是以(0，3)为圆心、半径为3的圆 3分将直线l：cos( )的极坐标方程化为直角坐标方程，得xy20 6分因为圆心(0，3)到的直线l距离d ，所以AB22 10分C选修45：不等式选讲解：由a，b，c是正数及柯西不等式，得(abc)( )()225 4分因为abc1，所以25 6分当且仅当 时，不等式取等号，此时 a，bc所以 的最小值为25. 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分D1ABCDEFA1B1C1xyz22解：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz因为AB3，AA12，E是CC1的中点，2，所以E(0，3，1)，F(3，2，0)，B1(3，3，2) 2分（1）从而 (3，1，1)，(3，3，2) 设异面直线FE和DB1所成的角为，则cos|cos|因此，异面直线FE和DB1所成角的余弦值为 5分（2）设平面B1FE的一个法向量为n1(x，y，z)因为(3，1，1)，(0，1，2)，由 得 所以取z3，则平面B1FE的一个法向量为n1(1，6，