广东省肇庆市2020届高三数学第三次统一检测试题 理（含解析）VIP

广东省肇庆市2020届高三数学第三次统一检测试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式，化简的表示方法，利用集合交集的定义求出.【详解】解：集合， ，.故选：C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力.2.已知为虚数单位，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x的值【详解】，即故选：A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查3.记为等差数列的前项和，公差，成等比数列，则（ ）A. -20B. -18C. -10D. -8【答案】D【解析】【分析】由，成等比数列，可以得到等式，根据等差数列的通项公式可以求出，代入等式中，这样可以求出的值，最后利用等差数列的前项和公式，求出的值.【详解】解：等差数列的公差，成等比数列，可得，即为，解得，则.故选：D由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力4.如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：故选：D【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5.若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出可行解域，平移直线，找到在纵轴上截距最大、最小时经过的点，这样可以求出的最大值和最小值，也就求出的取值范围.【详解】解：，满足约束条件，表示的平面区域，如图所示：其中，由图易得目标函数在处，取最大值2，在处，取得最小值为-2，目标函数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了求线性目标函数最值问题，画出正确的可行解域，利用数形结合是解题的关键.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B【点睛】本题考查了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查数学运算能力和转换能力.7.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将拆解为，和利用二倍角公式拆开，使得根号下的式子变成完全平方的形式，再根据符号整理.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系，易错点在于开完全平方时，要注意符号.8.已知双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的坐标，根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得，进而求出双曲线的离心率.【详解】解：双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，可得，可得故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，利用平面几何的性质是解题的关键.9.设，当取最小值时的的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】，利用对数运算性质可得，根据，即可得出结论【详解】解：，.，当取最小值时的的值为4故选：C【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力.10.相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11.已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用参数分离法进行转化，设（且），构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【详解】解：由得，当时，方程不成立，即，则，设（且），则，且，由得，当时，函数为增函数，当且时，函数为减函数，则当时函数取得极小值，极小值为，当时，且单调递减，作出函数的图象如图：要使有两个不同的根，则即可，即实数的取值范围是.方法2：由得，设，当时，则为增函数，设与，相切时的切点为，切线斜率，则切线方程为，当切线过时，即，即，得或（舍），则切线斜率，要使与在上有两个不同的交点，则，即实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键12.如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：若，则面积的最小值为；平面内存在与平行的直线；过作平面，使得棱，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，得到点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；对于，平面，所以也与平面相交故错；对于过作平面，使得棱，在平面的正投影的长度相等，因为，且，所以在平面的正投影长度与在平面的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平面的个数；对于面与面平行，则正方体在面的正投影为正六边形，且正六边形的边长为正三角形外接圆的半径，故其面积为【详解】解：对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过作平面，是垂足，过作，交于，连结，则，设，则，解得，当时，正确；对于，平面，所以也与平面相交故错；过作平面，使得棱，在平面的正投影的长度相等，因为，且，故在平面的正投影的长度等于在平面的正投影的长度，使得棱，在平面的正投影的长度相等，即使得使得棱，面的正投影的长度相等，若棱，面的同侧，则为过且与平面平行的平面，若棱，中有一条棱和另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱，在平面的正投影的长度相等的平面有4个；正确过作面与面平行，则正方体在面的正投影为一个正六边形，其中平面，而分别垂直于正三角形和，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，在平面内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形的外接圆半径（投影线与正三角形、垂直），所以正六边形的边长为，所以投影的面积为对故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列满足，则_【答案】10000【解析】【分析】化简递推关系式，得，可知数列是等比数列，求解即可【详解】解：数列满足，可得，可得，数列是等比数列，则.故答案为：10000【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的应用，考查计算能力14.在中，则_【答案】3【解析】【分析】通过余弦定理求出，然后利用向量的数量积求解即可【详解】解：在中，可得，则.故答案为：3【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力15.的展开式中的系数为_（用数字填写答案）.【答案】40【解析】【分析】,根据的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.【详解】，由展开式的通项公式可得：当r=3时，展开式中的系数为；当r=2时，展开式中的系数为，则的系数为80-40=40.故答案为：40【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.16.已知椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，则过点，且与直线：相切的圆的方程为_【答案】【解析】【分析】通过椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，求出、坐标，然后求解圆心坐标，半径，最后求出圆的方程【详解】解：椭圆：，直线：与椭圆交于，两点，联立可得：，消去可得，解得或，可得，过点，且与直线：相切的圆切点为，圆的圆心，半径为：所求圆的方程为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，是上的点，平分，.（1）求；（2）若，求的长【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）在和中运用正弦定理，进行求解即可 （2）由，利用正弦定理可得，利用余弦定理求出，结合，建立方程进行求解即可【详解】解：（1）由正弦定理可得在中，在中，又因为，.（2），由正弦定理得，设，则，则.因为，所以，解得.【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键18.如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，在线段上，且.（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用三角形相似证明，然后证明面（2）过作于，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设，求出面的一个法向量，面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可【详解】解：（1）连接交于点，连接因为，所以，又因为，所以，所以，又面，面，所以面.（2）过作于，因为，所以是线段的中点因为面面，面面，所以面连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以.如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设，则，由，得，的中点，.设面的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即.面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力19.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为与联立得，利用韦达定理转化求解，求解直线方程 法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程，与联立得，设，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可 （2）设，设直线方程为与联立得：，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果【详解】解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，所以方程为或.法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,与联立得，设，.，由，解得，所以方程为或.（2）设，设直线方程为与联立得：，可得，由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直线方程为过定点.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20. （本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额为60元的概率顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【答案】(1),参考解析;(2)参考解析【解析】试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.试题解析：(1)设顾客所获的奖励为X. 依题意,得.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为.依题意,得X的所有可能取值为20,60.即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为2060100的期望为,的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080的期望为,的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.21.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若在上成立，求的取值范围【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】【分析】（1），利用，解得，即可得出单调区间（2）法一：由得，即令，利用导数研究其单调性即可得出法二：由得，即，令，利用导数研究其单调性即可得出【详解】解：（1），当时，单调递增；当时，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为.（2）法一：由得，即