山西省阳泉市荫营中学2020届高三数学理科开学考试卷 新课标 人教版

山西省阳泉市荫营中学2020届高三数学理科开学考试卷考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王 萍 20209一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）（1）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（A）30人 30人 30人 （B）30人 45人 15人（C）20人 30人 40人 （D）30人 50人 10人（2）已知函数。则下列结论正确的是(A) 在点处不连续，在点处连续 (B) 在点处连续，在点处不连续 (C) 在点和点处都不连续 (D) 在点和点处都连续（3）若，则等于 (A) 3 ( B) 6 (C) 9 (D) 12 （4）已知复数满足,则等于（A） (B) (C) (D) （5）等于（A） （B） （C） （D）（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50（7）对于R上的可导的任意函数f（x），若满足（x1）f /（x）0，则必有（A）f (0) +f (2) 2 f (1) （B）f (0) +f (2) 2 f (1) （C）f (0) +f (2) 2 f (1) （D）f (0) +f (2) 2 f (1) （8）,则有(A)最大值为和最小值为 （B）最大值为和最小值为0(C)最大值为和最小值为 （D）最大值为和最小值为（9）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ）（A） 4个（B）3个（C）2个（D）1个（10）函数,则(A) 有极小值-3且有极大值3 （B）有极小值且有极大值(C) 仅有极大值3 （D）无极值（11）已知是不相等的正数，若，则的取值范围（A） （B） （C） （D）（12）下列函数中（1） ，（2） ，（3），（4）在内为增函数的个数是（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上（13） _ ，则常数_ （14）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。又的数学期望，则 .（15）用4颗子弹对目标射击，直到第一次命中或子弹全部用完为止，每次射击命中的概率为06，则余下子弹颗数的数学期望 （16）对正整数n，设曲线y=xn（1）在处的切线与轴交点的纵坐标为，求数列的前项和 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知函数.(I)求的最小正周期； (II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.（18）（本小题满分12分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（）试问此次参赛学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857（19）（本小题满分12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（）随机变量的分布列；（）随机变量的期望.（20）（本小题满分12分） 已知为实常数，函数（）若，求证：在定义域内是增函数；（）若，求函数的单调递减区间。（21）(本小题满分12分)四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=（）求证：AO平面BCD； （）求异面直线AB与CD所成角的大小；（）求点E到平面ACD的距离. （22）（本小题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式参考答案一、选择题二、填空题 三、解答题17解： （）的最小正周期为; （）的最大值为和最小值； （）因为，即,即 18解：（）设参赛学生的分数为，因为N(70，100)，由条件知，P(90)1P（90）1F(90)11(2)10.97720.0228.这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28，因此，参赛总人数约为526（人）。（）假定设奖的分数线为x分，则P(x)1P（x）1F(x)10.0951，即0.9049，查表得1.31，解得x83.1.故设奖得分数线约为83.1分。19解法一：（）的所有可能值为，.由等可能性事件的概率公式得P(=0)=, P(=1)= P(=2)= =, P(=3)= P(=4)= =, P(=5)= 从而的分布列为012345P（）由（）得的期望为E=0+2+3+4+5 =.解法二：（）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.故B,即有P(=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.由此计算的分布列如解法一.解法三：（）同解法一或解二.（）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.即3E=5,从而E=.21解：方法一:(1)证明：连结OC.BO=DO,AB=AD, AOBD.BO=DO,BC=CD, COBD.在AOC中，由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,AO2+CO2=AC2,AOC=90,即AOOC. AO平面BCD.（）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知MEAB,OEDC.直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME中，是直角AOC斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设点E到平面ACD的距离为h.,SACD =AOSCDE.在ACD中，CA=CD=2,AD=,SACD=而AO=1, SCDE=h=点E到平面ACD的距离为.方法二：（）同方法一：（）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，0)，A(0,0,1),E(,0), 异面直线AB与CD所成角的大小为（）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.又点E到平面ACD的距离h=22解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()