山东省莱芜市第一中学2020届高三数学模拟试题 理（含解析）

2020年高三数学模拟理科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为与互为共轭复数，考点：共轭复数，复数的运算2. 设集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ，则，选C.3. 已知函数f(x)为奇函数,且当x0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( )A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】当x0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.4. 用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根A【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.5. 将函数y=sin（2x +）的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A. B. C. 0 D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意得关于轴对称，所以 的一个可能取值为，选B.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是偶函数k(kZ)；6. 已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：实数，满足（），对于选项A.若,则等价为,即,当,时,满足,但不成立.对于选项B. 当,时，满足，但不成立；对于选项C. 若,则等价为成立,当,时,满足,但不成立；对于选项D.当时,恒成立， 故选D.考点：1、函数的单调性；2、不等式比较大小.7. 给定两个命题p、q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的A. 充分而不必条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：p是q的必要而不充分条件，q是p的充分不必要条件，即qp，但p不能q，其逆否命题为pq，但q不能p，则p是q的充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定8. 已知函数，若有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A. B. C. （D）【答案】B【解析】试题分析：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得-1k考点：根的存在性及根的个数判断9. 过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为A. 2x+y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0【答案】A【解析】试题分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足故选A考点：圆的切线方程；直线的一般式方程10. 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：,椭圆的方程为,的离心率为：, 双曲线的方程为,的离心率为：,与的离心率之积为,的渐近线方程为：,即,故选A.考点： 1、椭圆、双曲线的离心率；2、双曲线的渐近线.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆、双曲线的简单性质及椭圆、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线，属于中档题.求解与椭圆双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题解答过程是根据离心率之积列出关于的方程解得，进而得到渐近线方程的.11. 抛物线C1：y=x2(p0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知可求得抛物线的焦点F坐标及双曲线的右焦点F1的坐标，从而就可写出直线FF1的方程，联立直线方程与抛物线的方程可求得点M的横坐标，从而由导数的几何意义可用p将在点M处的切线的斜率表示出来，令其等于双曲线渐近线的斜率从而可解出p的值因为抛物线： 的焦点F（0，）， 双曲线：的右焦点F1（2，0），渐近线方程为；所以直线FF1的方程为：代入并化简得，解得，由于点M在第一象限，所以点M的横坐标为：，从而在点处的切线的斜率=，解得：；故选D考点：1抛物线的性质；2双曲线的性质；3导数的几何意义12. 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为A. 0 B. 1 C. D. 3【答案】D【解析】据已知不等式得，故，据均值不等式得，当且仅当，即时取得最大值，此时且，当时取得最大值1.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 下图是一个算法的流程图，则输出的的值是_【答案】314. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_.【答案】2【解析】 ，令，则，则 ，,则的最小值为2.15. 已知向量与的夹角为，且若且,则实数的值为_【答案】【解析】，. ，则.16. 定义“正对数”：，现有四个命题：若，则若，则若，则若，则其中的真命题有：_ （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】试题分析：因为定义的“正对数”：是一个分段函数 ，所以对命题的判断必须分情况讨论：对于命题（1）当，时，有，从而，所以；（2）当，时，有，从而，所以；这样若，则，即命题正确.对于命题举反例：当时，所以，即命题不正确.对于命题，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，（1）当，时，而，所以；（2）当，时，有，而，因为，所以；（3）当，时，有，而，所以；（4）当，时，而，所以，综上即命题正确.对于命题首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，（1）当，时，有，从而，所以；（2）当，时，有，从而，所以；（3）当，时，与（2）同理，所以；（4）当，时，因为，所以，从而，综上即命题正确.通过以上分析可知：真命题有.考点：指数函数、对数函数及不等式知识的综合.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .（）求a，c的值； （）求sin（A-B）的值.【答案】（1）（2）【解析】(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理得sinA，因为ac，所以A为锐角，所以cosA，因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB.18. 已知向量，设函数，且的图象过点和点.（）求的值；（）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.【答案】（I）（II）见解析；【解析】试题分析：（）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围试题解析：（1）由题意知的过图象过点和，所以即解得（2）由（1）知由题意知设的图象上符合题意的最高点为，由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）将其代入得，因为，所以，因此由Z得Z，所以函数的单调递增区间为考点：1.三角函数化简与性质；2.图像平移19. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.【答案】（1），（2） 【解析】试题分析：（1）甲队获胜有三种情形：，其每种情形的最后一局肯定是甲队获胜，粉笔求出相应的概率，即可得到结果；（2）的取值可能为，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，列出分布列，最后根据期望的公式即可求解数学期望试题解析：（1）记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)，P(A2)，P(A3).所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.（2）设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4).由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2).又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列为所以E(X)0123.考点：相互独立事件的概率；离散型随机变量的分布列【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率的乘法公式，以及离散型随机变量的分布列、数学期望的求解，其中正确理解赛制的最后一局的比赛情况是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力、分类讨论的思想数学思想方法的应用，应该认真试题、仔细解答，试题比较基础，属于基础题20. （本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1） 求数列an的通项公式；（2） 设数列bn的前n项和Tn，且Tn+ = （为常数），令cn=b2n，（nN）.求数列cn的前n项和Rn.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：根据等差数列的通项公式和前 项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出 和，写出通项公式；根据 ，把替换为，两式相减，得出，再用错位相减法求出.试题解析：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，an为等差数列，可得，即：(1) ，又 ，即(2)联立（1）（2）得： ，所以（2）由Tn+ = ，当时， 可得，当 时，Tn-1+ = 两式相减，所以当时， ，利用错位相减法可得当时， ，可得21. 设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程根的个数.所以当时，方程有两个根；当时，方程有一两个根；当时，方程有无两个根.【答案】（1）当时（2）【解析】试题分析：对