浙江省衢州市高一数学《等差数列的前n项和》教案（1）

等差数列的前n项和（一）教材分析 本课是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题。等差数列求和公式的推导，是由高斯算法引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法。学情分析 本节课之前，学生已经学习了等差数列的相关知识，对等差数列有了一定的认识。本节课是在等差数列的基础上探究等差数列前n项和。在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容。在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究。教学目标（1）知识与技能理解等差数列前n项和公式及其推导过程，会灵活运用等差数列前n项公式解决相关问题，加深对等差数列概念和性质的理解。（2）过程与方法通过让学生经历知识的产生过程，培养学生观察、分析、归纳、合情猜想及证明的能力和模型化思想；通过例题和练习培养学生数学思维、解决问题的能力和数学表达与交流的能力。（3）情感态度与价值观 通过本节课教会学生从实际生活中发现数学规律，体验探索的乐趣，使学生养成收集资料、自主探究、合作交流的习惯，培养他们的科学精神和创新意识。教学重难点重点：是等差数列的前 项和公式的推导和应用；难点：是获得推导公式的思路。教学过程一、新课引入提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题“ ”这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的。（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？二、讲解新课1、公式推导 问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式 ，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得，所以 这就是倒序相加法。思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 。于是得到了两个公式： 和 。2、公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式。三、例题例1、计算：（1）+2+3+n；（2）1+3+5+(2n-1)；（3）+4+6+2n；解：（1）1+2+3+n=； （2）1+3+5+(2n-1)=n2； （3）2+4+6+2n=n(n+1);例2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：方法一：由题意可知 S10=310,S20=1 200, 将它们代入公式Sn=na1+d，得到 解这个关于a1与d的方程组，得到a1=4，d=6， 所以Sn=4n+6=3n2+n。 方法二：由S10=10=310，得a1+a10=62， S20=20=1220。所以a1+a20=122。 - 得10d=60， 所以d=6。 代入，得a1=4，所以有Sn=a1n+d=3n2+n。例3、已知数列an的前n项和为Sn=n2+n，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sn=a1+a2+an-1+an与Sn-1=a1+a2+an-1(n1)，可知， 当n1时，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n -， 当n=1时，a1=S1=12+1=. 也满足式, 所以数列an的通项公式为an=2n-. 由此可知，数列an是一个首项为，公差为2的等差数列。四、课堂练习1、等差数列an中， （1）已知a1=5，an=95，n=10，求Sn。 （2）已知a1=100，d=-2，n=50，求Sn。2、设Sn为等差数列an的前n项和，S4=14，S10-S7=30，求S9。五、课堂小结1、本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些数学内容？（两个重要的等差数列求和公式）通过等差数列的前n项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？（数列倒序相加法）对你今后的学习有什么启发指导？2、你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？六、布置作业 课本P46 第2题7、 板书设计等差数列前n项和（1）1、等差数列前n项和公式 和 2、 公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.公式推导设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 思路一思路二思路三例题1、2、3、练习1、2、备选题（C）1、设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ） A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2、等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8CS13 DS153、设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.（B）1、已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19C20 D212、设等差