吴赣昌编-概率论与数理统计-第3章(new)

第三章多维随机变量及其分布,二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量的函数的分布,3.1二维随机变量及其分布,设S=e是随机试验E的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。例1.抽查某地区儿童的身高体重，设X=身高，Y=体重，则(X,Y)是一个二维随机变量。二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论X和Y的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。,一、二维随机变量,一维随机变量XR1上的随机点坐标；二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标；n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标。多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。,定义2设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x，y，二元实值函数F(x,y)=P(XxYy)P(Xx,Yy)x(-,+),y(-,+)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称X与Y的联合分布函数。F(x,y)即为事件Xx与Yy同时发生的概率。,二、二维随机变量的联合分布函数,几何意义：若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在(x0,y0)处的函数值F(x0,y0)就表示随机点(X,Y)落在区域-Xx0，-Yy0中的概率。如图阴影部分：,(x0,y0),x,y,O,对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2)，则随机点(X,Y)落在矩形区域x1Xx2，y1Yy2内的概率可用分布函数表示为P(x1Xx2，y1Yy2)F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1),(x1,y1),(x2,y2),Ox1x2x,y1,y2,y,分布函数F(x,y)具有如下性质：,(1)对任意(x,y)R2,0F(x,y)1。(2)单调不减：F(x,y)是变量x或y的非降函数，即对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。(3)归一性：,(4)右连续：函数F(x,y)关于x是右连续的，关于y也是右连续的，即对任意xR，yR，有,(5)不等式：对于任意(x1,y1)，(x2,y2)R2，(x1Y)。,Ox,y=x2,y=x,y,解(1),(2)确定积分区域,19,4.2边缘分布,1、二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有它们的分布函数，记X的分布函数为FX(x)，称为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；Y的分布函数为FY(y)，称为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数。由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系,20,边缘分布的几何意义,FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。,Oxx,Ox,y,y,y,21,2、二维离散型随机变量的边缘分布律,由(X,Y)的联合分布律P(Xxi,Yyjpij，i,j1,2,i1,2,j1,2,其中pi.和p.j分别为表示,的记号。,它们分别是事件(X=xi)和(Y=yj)的概率，且有,pi.0，,p.j0，,22,称P(Xxi)pi.，(i1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律；,称P(Yyj)p.j，(j1,2,)为二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律。,以表格形式表示为,例3.7已知(X,Y)的分布律为,故关于X和Y的边缘分布律分别为：,求X、Y的边缘分布律。,解,24,例3.8设随机变量(X,Y),X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个Y在1至X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律。,解事件(X=i,Y=j)中i的取值为1、2、3、4，而j取不大于i的整数，因此,i=1,2,3,4，ji,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4,X和Y的边缘分布律分别为,25,3、二维连续型随机变量的边缘密度函数,设(X,Y)是二维连续型随机变量，联合密度为f(x,y)，此时X、Y也是连续型随机变量，称X的密度函数fX(x)为(X,Y)关于X的边缘密度函数，且有,称Y的密度函数fY(y)为(X,Y)关于Y的边缘密度函数，且有,26,例3.9设二维随机变量,求边缘密度函数fX(x)和fY(y),解当0x1时,O1x,y,1,y=x2,y=x3,当x0或x1时，f(x,y)=0，所以,当0y1时,当y0或y1时，f(x,y)=0，所以,27,五、二维连续型随机变量的常用分布,1、均匀分布设G为xoy平面上的有界区域，G的面积为A，若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。,若G1是G内面积为A1的子区域，则,即：此概率仅与G1的面积有关(成正比)，而与G1在G内的位置无关。,28,例如：向平面上有界区域G内任投一质点，若质点落在G内任意小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的位置无关，则质点的坐标（X，Y）在G上服从均匀分布。,例：若(X，Y)服从矩形区域axb,cyd上的均匀分布，则(X，Y)的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为,例3.10设(X,Y)服从如图区域G上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P(Y2X)；(3)求F(0.5,0.5)。,O0.51x,G,解(1)区域G的面积为1,(2)Y0、|1，则称(X,Y)服从参数为1，1，2，2，的二维正态分布，记为,2、正态分布若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,32,二维正态分布的重要性质：若(X,Y)服从二维正态分布，,则,联合密度函数f(x,y)的指数部分,则,即,同理可得,x(-,+),33,由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与无关，说明不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布的随机变量，(X,Y)不一定是服从二维正态分布。二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。,34,联合分布律不同，边缘分布律可能相同，但仅有边缘分布律一般不能得到联合分布律。即联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布律不一定能确定联合分布律。,35,例3.12设二维随机变量,x(-,+)，y(-,+)，求fX(x)，fY(y)。,解,因此,同理可得,但(X,Y)不服从二维正态分布。,36,习题1、已知二维随机变量的联合分布函数为，试用表示概率。,37,习题2、设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。,38,习题3、的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X+Y1)；(3)P(X1/2)。,求(1)P(X0)，(2)P(X1)，(3)P(Yy0),习题4、随机变量(X，Y)的概率密度为,y,D,答:P(X0)=0,Ox,1,y0,y0,40,习题5、设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求X与Y的边缘密度函数。,41,3.4随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性定义设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是X与Y的边缘分布函数，若对一切x,yR，均有P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)即F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X与Y是相互独立的。随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(Xx)与事件(Yy)相互独立。,若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则X与Y相互独立的充分必要条件是对任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)，即pij=pipj。若(X,Y)是二维连续型随机变量，则由分布函数与概率密度函数的关系可知，X与Y相互独立，即F(x,y)=FX(x)FY(y)成立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立。,由上述结论可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y),边缘分布的乘积都等于联合分布即可。,43,若随机变量X与Y相互独立，则联合分布可由边缘分布唯一确定。,定理1.随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事情与Y生成的任何事情独立。即，对任意实数集A,B，有PXA,YB=PXAPYB,定理2.若随机变量X与Y相互独立，则对任意函数g1(x),g2(y)均有g1(X)与g2(Y)相互独立。,44,例3.13已知(X,Y)的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立。,解先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律,要使X与Y相互独立，可用pij=pipj来确定a,b。P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)，即,因此，(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为,经检验，此时X与Y是相互独立的。,45,例3.14设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，若,试求(U,V)的联合分布律，并判断U与V是否相互独立。,解(X,Y)在G上服从均匀分布，则联合密度函数为,O12x,y,1,y=x,x=2y,G,46,(U,V)的联合分布律和边缘分布律为,经检验，U和V不是相互独立的。其中p00p0p0,47,例3.15若二维随机变量,证明X与Y相互独立的充分必要条件为=0,证(X,Y)的联合密度函数为,边缘密度函数为,f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是=0，而X与Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。,48,例3.16一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间。设他俩到达时间是相互独立的，求他俩到达办公室的时间差不超过5分钟的概率。,解设X是负责人到达办公室的时间，Y是秘书到达办公室的时间，则X和Y的密度函数分别为,O812x,y,9,7,因X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合密度函数为,所求概率为P(|X-Y|1/12)，即随机点(X,Y)落在区域G中的概率，,y=x+1/12,y=x-1/12,矩形区域上的均匀分布,G,G的面积为1/6,49,例3.17设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(2)问X与Y是否相互独立？,O1x,y,1,解,由于f(x,y)与fX(x)fY(y)在平面上不是几乎处处相等，因此X与Y不相互独立。,50,例.已知随机变量(X,Y)的概率密度为判断X,Y是否相互独立。解：,x,yR2,f(x,y)=fX(x)fY(y),即X,Y相互独立。,51,习题1、设X，Y独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处。,52,习题2、设(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？,53,3.5多维随机变量的函数的分布,已知随机变量(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的概率分布，其中z=g(x,y)是连续函数。,一、两个离散型随机变量的函数的分布举例,例3.18已知随机变量(X,Y)的联合分布律为,试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)的分布律。,解Z1的所有可能取值为2,3,4,5,P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5,P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5,P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5,Z1的分布律为,54,Z2=max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3,P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5,P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5,P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5,Z2的分布律为,55,例3.19设随机变量X与Y相互独立，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布。证,k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y的所有可能取值为0,1,2,3,XP(1),YP(2),因此ZP(1+2),k=0,1,2,56,二、两个连续型随机变量的函数的分布,设二维随机变量(X,Y)f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为,即FZ(z)可利用f(x,y)在平面区域：G=(x,y)|g(x,y)z上的二重积分得到。,Z=g(X,Y)的密度函数为,57,三、常用的随机变量的函数的分布,1、和的分布,设(X,Y)f(x,y)，(x,y)R2,Z=X+Y，则Z是连续型随机变量，且Z的概率密度为,此两公式称为卷积公式。,或,58,证明对任意的zR，Z=X+Y的分布函数为,Ox,y,z=x+y,固定x,交换积分次序,所以,zR,同理可得,zR,59,特别地，当X,Y相互独立时，,或,其中，fX(x)，fY(y)为(X,Y)关于X和Y的边缘密度。,上式也称为fX(z)与fY(z)的卷积，记为fX(z)*fY(z)即X,Y相互独立时，fZ(z)=fX(z)*fY(z),60,例3.20设(X,Y)N(0,1;0,1;0)，试求Z=X+Y的密度函数,解由于=0，所以X与Y相互独立，且,所以Z的密度函数为,令,此式说明ZN(0,2),61,一般地，(1),且X与Y相互独立，则,(2)Y=aX+b，(a,b为常数，且a0)，,则,(3),X与Y相互独立，且,是不全为0的常数，则,(4),Xi相互独立，i是不全为0的常数，,i=1,2,3,n，则,相互独立的正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。,例：卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量，则,由题意,令,查表得,63,例3.21设X,Y相互独立，且两者都在区间0,1上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。,解X,Y的密度函数分别为,由卷积公式,O12z,x,1,x=z,x=z-1,当0x1，且0z-x1时，被积函数为1，其它区域被积函数为0，即0x1，且z-10，试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的分布函数与概率密度函数。,解(1)串联时，当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)。,由条件可得X,Y的分布函数分别为,Z的分布函数为,Z的概率密度函数为,67,(2)并联时，当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，因此L的寿命Z=max(X,Y)其分布函数为,密度函数为,68,例3.23设(X,Y)在G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求Z=XY的密度函数。,解(X,Y)的联合密度函数为,Z的分布函数为,Oz12x,y,1,z=xy,当z0时，FZ(z)=0;,当0z2时，,当z2时，,Z的密度函数,69,第三章内容提要,一、二维随机变量及其分布,1、二维随机变量联合分布、几何意义、性质F(x,y)=P(XxYy)P(Xx,Yy),(1)对任意(x,y)R2,0F(x,y)1。(2)单调不减：F(x,y)是变量x或y的非降函数。(3)归一性：,(4)右连续性：F(x,y)关于变量x或y是右连续的。(5)矩阵不等式：对于任意(x1,y1)，(x2,y2)R2(x1x2，y1y2)，F(x2,y2)F(x1,y2)