江苏省姜堰市溱潼中学2020届高三数学基础知识梳理 第9章 排列、组合、二项式定理及概率

第九章 排列、组合、二项式定理及概率基础知识梳理一、两个基本原理：分类计数原理：（又称加法原理）见书P.84分步计数原理：（又称乘法原理）见书P.85二、排列数的概念及公式：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. =n(n1)(n2)(nm+1)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式： =n！三、组合数的概念及公式： 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. =记住：； 0！=1（这是规定）； =1（这是规定）； .四、组合数的两个性质：；.五、排列、组合应用题的两种基本解法： 直接法（又称提纯法）：从限制条件出发，把符合限制条件的排列数或组合数计算出来；间接法（又称去杂法）： 先不考虑限制条件求出排列数或组合数，再减去不符合限制条件的排列数或组合数.六、排列、组合题的常见题型： 相邻问题：用“捆绑法”；不相邻问题：用“插空法”；定序问题：有n个不同元素排成一排，其中m个元素的顺序一定，则不同的排列种数是 ；分组问题（特别是均匀分组）：例：把a1、a2、a3、a4、a5、a6六个元素分成三组，每组2个，有多少种不同的分法？ 答：几何问题：排列、组合混合问题：一般先组合后排列.七、二项式定理： 二项展开式(a+b) n = 二项展开式的通项：Tr+1=. Tr+1表示第r+1项 二项式系数为，.其性质有：；+=2 n；如果n是偶数，则的二项式系数最大；如果n是奇数，则则与的二项式系数与最大且相等；=2n1（奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和）. 在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：展开式的通项是第r+1项，不是第r项；要区分展开式中某一项与项的系数，区分某一项的系数与二项式系数；注意(ab) n展开式中各项的符号；二项式定理对任何实数a、b都成立，应注意赋值法的应用. 二项式定理的应用主要有：指定项问题；项（或系数）的最大、最小问题；余数问题； 近似计算问题；整除或余数问题.八、概率： 几个概念：必然事件；不可能事件；随机事件；互斥事件；对立事件；相互独立事件. 等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=. 互斥事件有一个发生的概率：如果事件A，B互斥，用A+B表示A，B中有一个发生，则有 P(A+B)=P(A)+P(B).一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 事件A的对立事件通常记作,根据对立事件的意义，A+是一个必然事件,所以有P(A)+P()=P(A+)=1， 即P()=1 P(A) 两个相互独立事件同时发生的概率和独立重复试验：两个相互独立事件A，B同时发生记作AB，则有P(AB)=P(A)P(B).一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn(k)=.对此,我们也可以作这样的理解：每一次试验的结果只有A或之一发生，因此，n次独立重复试验中，“A发生k次”就是在n个结果中有k个A与(nk)个,而这n个独立的结果一共有