向量自回归模型

1,向量自回归模型,传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本次课所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)、向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非结构化的多方程模型。,2,向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。,第一节向量自回归理论,3,一、VAR模型的一般表示VAR(p)模型的数学表达式是其中：yt是k维内生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T。kk维矩阵A1，Ap是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设是t的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。,第一节向量自回归理论,4,如果行列式detA(L)的根都在单位圆外，则上式满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量移动平均(VMA()形式其中,第一节向量自回归理论,5,对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得矩阵的估计量为其中：当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA()模型的参数估计。,第一节向量自回归理论,6,由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除（absorbed），所以。扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。,第一节向量自回归理论,7,例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度2004年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为P(1990年=100)、居民消费价格指数变动率为PR(P/P-1-1)*100)、实际GDP的对数ln(GDP/P)为ln(gdp)、实际M1的对数ln(M1/P)为ln(m1)和实际利率rr(一年期贷款利率R-PR）。利用VAR(3)模型对ln(gdp)，ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。,8,二、EViews软件中VAR模型的建立和估计,1建立VAR模型为了创建一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：,第一节向量自回归理论,9,可以在对话框内添入相应的信息：(1)选择模型类型（VARType）：(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。,10,2VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：,11,表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(logGDPTC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是0.000354。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：,12,输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。,13,例9.1结果如下：3个方程调整的拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。,14,同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei表示第i个方程的残差，i=1，2，3。其结果如表9.1所示。表9.1残差的同期相关矩阵,15,从表中可以看到实际利率rr、实际M1的ln(m1)方程和实际GDP的ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。结构向量自回归（SVAR）模型能够解决这个问题。,16,无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。一、Granger因果检验VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。,第二节VAR模型的检验,17,1.Granger因果关系的定义Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”或者“x是y的Granger成因”。考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：,(9.3.1),第二节VAR模型的检验,18,这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：如果关于所有的s0，基于(yt，yt-1，)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，)和(xt，xt-1，)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，若有,可以得出结论：x不能Granger引起y。等价的，如果上式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。,第二节VAR模型的检验,19,可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，利用从(t1)至(tp)期的所有信息，得到yt的最优预测：VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是,(9.3.4),其中是的第i行第j列的元素。,第二节VAR模型的检验,20,2.Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。,这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：H0:H1:至少存在一个q使得,其统计量为,如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。,第二节VAR模型的检验,21,3、在EViews中Granger因果检验的操作选择View/LagStructure/GrangerCausalityTests，即可进行Granger因果检验。,第二节VAR模型的检验,22,输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的2统计量。对例9.1进行检验，其结果如下：,第二节VAR模型的检验,23,同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，在组中进行检验可得如下结果：,第二节VAR模型的检验,24,例9.3Granger因果检验早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。,第二节VAR模型的检验,25,根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如下表所示。,第二节VAR模型的检验,26,从上表的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1、实际GDP，其P值分别达到0.4027和0.5612，可以作为外生变量，这与我国实行固定利率制度是相吻合的，即利率不是通过市场来调节的。同时在第三个方程(即GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.9037，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此M1对GDP没有显著的影响。,第二节VAR模型的检验,27,VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时：一方面想使滞后阶数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。另一方面，滞后阶数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。,二、滞后阶数p的确定,28,在EViews软件中滞后阶数p的确定一旦完成VAR模型的估计，在窗口中选择View/LagStructure/LagLengthCriteria，需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。表中用“*”表示从每一列标准中选的滞后数。在47列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。为了确定例9.1中模型的合适滞后长度p，首先选择尽可能大的滞后阶数8，得到如下的结果：,29,30,三、在EViews软件关于VAR模型的其他检验一旦完成VAR模型的估计，EViews会提供关于被估计的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/LagStructure和View/ResidualTests菜单下提供的检验。,31,AR根的图表如果被估计的VAR模型所有根的模的倒数小于1，即位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如脉冲响应函数的标准误差）。共有kp个根，其中k是内生变量的个数，p是最大滞后阶数。如果估计一个有r个协整关系的VEC模型，则应有kr个根等于1。对于例9.1，可以得到如下的结果：,32,所有的单位根的模大于1，因此例9.1的模型满足稳定性条件。,33,下面给出单位根的图形表示的结果：,34,在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulseresponsefunction，IRF)。,第三节脉冲响应函数,35,一、VAR模型的脉冲响应函数,VAR(p)可以表示为VMA()模型，因此VMA()的系数矩阵C可以由VAR(p)的系数矩阵A计算得到。,第三节脉冲响应函数,36,考虑VMA()的表达式yt的第i个变量yit可以写成：其中k是变量个数。,第三节脉冲响应函数,37,一般地，由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下：,且由yj的脉冲引起的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为,第三节脉冲响应函数,38,本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，利用脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。分别用y1表示钢材销售收入；y2表示建材销售收入y3表示汽车销售收入；y4表示机械销售收入；y5表示家电销售收入。样本区间为1999年1月2002年12月，所采用数据均作了季节调整，指标名后加上后缀sa，并进行了协整检验，存在协整关系，这表明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。,例9.4钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应,第三节脉冲响应函数,39,脉冲响应函数在EViews软件中的实现为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/ImpulseResponse或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display和ImpulseDefinition。,40,1.Display菜单提供下列选项：(1)显示形式（DisplayFormat）选择以图或表来显示结果。如果选择CombinedGraphs则ResponseStandardError选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。(2)显示信息（DisplayInformation）输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。,41,2.ImpulseDefinition菜单提供了转换脉冲的选项：(1)Residual-OneUnit(2)Residual-OneStd.Dev(3)Cholesky分解用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。(4)广义脉冲（GneralizedImpluses）(5)结构分解（StructuralDecomposition）用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。(6)用户指定（UserSpecified）,第三节脉冲响应函数,42,例9.4建立5变量的VAR(3)模型，下面分别给各下游行业销售收入一个冲击（选择广义脉冲），得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。在下列各图中，横轴表示冲击作用的滞后期间数(单位：月度)，纵轴表示钢材销售收入(亿元)，实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应，虚线表示正负两倍标准差偏离带。,第三节脉冲响应函数,43,y1：钢材；y2：建材；y3：汽车；y4：机械；y5：家电,44,脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。方差分解(variancedecomposition)是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。其基本思想如下所述。,第四节方差分解,45,脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此，Sims于1980年依据VMA()表示，提出了方差分解方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下：根据式可知各个括号中的内容是第j个扰动项j从无限过去到现在时点对yi影响的总和。求其方差，假定j无序列相关，则,46,这是把第j个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k项简单和：,47,yi的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为了测定各个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度：,即相对方差贡献率(relativevariancecontribution，RVC)是根据第j个变量基于冲击的方差对yi的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响。,48,实际上，不可能用直到s=的项和来评价。如果模型满足平稳性条件，则随着q的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的s项。VAR(p)模型的前s期的预测误差是可得近似的相对方差贡献率(RVC)：,49,方差分解在EViews软件中的实现为了得到VAR的方差分解，从VAR的工具栏中选View/Variancedecomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。,50,例9.4分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变化的响应。本例中将利用方差分析的基本思想分析各下游行业对钢铁行业变动的贡献程度。数据的处理和例9.4一样，可得到如下的结果，各图中横轴表示滞后期间数（单位：月度），纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率（单位：百分数）。数值越大，对钢材需求的影响越大。,例9.6下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度,51,y1：钢材；y2：建材；y3：汽车；y4：机械；y5：家电,52,从上面4个图中可以看出，不考虑钢铁行业自身的贡献率，建材行业对钢铁行业的贡献率最大达到48.9%(RVC21(36)=48.9%)，其次是汽车行业，其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的，在第34期达到20%左右(RVC31(34)=20.03%)，机械行业和家电行业的贡献率较小，分别为8%和6%左右。,53,上一章介绍的协整检验和误差修正模型主要是针对单方程而言，本节将推广到VAR模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为JJ(Johansen-Juselius)检验。虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性在第一阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。Johansen在1988年及在1990年与Juselius一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。,第四节Johansen协整检验,54,其中,其中y1t，y2t，ykt都是非平稳的I(1)变量；Xt是一个确定的d维的外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；t是k维扰动向量。将式(9.6.1)经过差分变换以后，可得下面的式子,首先建立一个VAR(p)模型,第四节Johansen协整检验,55,由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式中的yt，ytj(j=1，2，p)都是I(0)变量构成的向量，那么只要yt-1是I(0)的向量，即y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1之间具有协整关系，就能保证yt是平稳过程。变量y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1之间是否具有协整关系主要依赖于矩阵的秩。设的秩为r，则存在3种情况:r=k，r=0，0rk：如果r=k，显然只有当y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1都是I(0)变量时，才能保证yt-1是I(0)变量构成的向量。而这与已知的yt为I(1)过程相矛盾，所以必然有rk。,第四节Johansen协整检验,56,如果r=0，意味着=0，因此式仅仅是个差分方程，各项都是I(0)变量，不需要讨论y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1之间是否具有协整关系。下面讨论0rk的情形：0rk表示存在r个协整组合，其余kr个关系仍为I(1)关系。在这种情况下，可以分解成两个(kr)阶矩阵和的乘积：,第四节Johansen协整检验,57,上式要求yt-1为一个I(0)向量，其每一行都是I(0)组合变量，即的每一行所表示的y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵决定了y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r为协整向量的个数。,第四节Johansen协整检验,58,矩阵的每一行i是出现在第I个方程中的r个协整组合的一组权重，故称为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现和并不是惟一的，因为对于任何非奇异rr矩阵H，乘积和H(H1)都等于。将yt的协整检验变成对矩阵的分析问题，这就是Johansen协整检验的基本原理。因为矩阵的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于的特征根的求解方法，设矩阵的特征根为12k。,第四节Johansen协整检验,59,一、特征根迹检验(trace检验)由于r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余kr个非协整组合来说，r+1，k应该为0，于是可得到原假设、备选假设为,相应的检验统计量为,r称为特征根迹统计量。,第四节Johansen协整检验,60,依次检验这一系列统计量的显著性：（1）当0不显著时(即0值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，接受H00(r=0)，表明有k个单位根，0个协整向量(即不存在协整关系)。当0显著时(即0值大于某一显著性水平下的Johansen分布临界值)，拒绝H00，则表明至少有一个协整向量，必须接着检验1的显著性。（2）当1不显著时，接受H10，表明只有1个协整向量，依次进行下去，直到接受Hr0，说明存在r个协整向量。这r个协整向量就是对应于最大的r个特征根的经过正规化的特征向量。,第四节Johansen协整检验,61,根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程：1临界值，拒绝H10，表明至少有2个协整向量；r临界值，接受Hr0，表明只有r个协整向量。,第四节Johansen协整检验,62,二、最大特征值检验对于Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是,检验统计量是基于最大特征值的，其形式为,(9.6.7),其中r称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。,第四节Johansen协整检验,63,检验从下往上进行，首先检验0，如果0临界值，拒绝H00，至少有1个协整向量。接受H00(r=0)，表明最大特征根为0，无协整向量，否则接受H01，至少有1个协整向量；如果1显著，拒绝H10，接受至少有2个协整向量的备择假设H11；依次进行下去，直到接受Hr0，共有r个协整向量。,第四节Johansen协整检验,64,三、协整方程的形式与单变量时间序列可能出现非零均值、包含确定性趋势或随机趋势一样，协整方程也可以包含截距和确定性趋势。由式假设方程可能会出现如下情况（Johansen，1995）：(1)VAR模型没有确定趋势，协整方程没有截距：(2)VAR模型没有确定趋势，协整方程有截距项0：,第四节Johansen协整检验,65,(3)VAR模型有确定性线性趋势，但协整方程只有截距：,(4)VAR模型和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋势表示为1t：,(5)VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势：,第四节Johansen协整检验,66,其中是k(kr)阶矩阵，它被称为的正交互余矩阵(orthogonalcomplement)，即0。与有关的项是协整关系的外部确定项，当确定项同时出现在协整关系的内部和外部时，的分解不是惟一可识别的。Johansen(1995)指出可将属于误差修正项内的那部分外生项正交地投影于空间上，所以是的0空间，即0。,第四节Johansen协整检验,67,协整检验在EViews软件中的实现为了实现协整检验，从VAR对象或Group(组)对象的工具栏中选择View/CointegrationTest即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。EViews软件中协整检验实现的理论基础是Johansen(1991,1995a)协整理论。在CointegrationTestSpecification的对话框（下图）中将提供关于检验的详细信息：,第四节Johansen协整检验,68,1.协整检验的设定,第四节Johansen协整检验,69,2协整检验结果的解释(1)协整关系的数量输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。对于每一个检验结果，第一列显示了在原假设成立条件下的协整关系数；第二列是式中矩阵按由大到小排序的特征值；第三列是迹检验统计量或最大特征值统计量；第四列是在5%显著性水平下的临界值；最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis(1999)提出的临界值所得到的P值。,第四节Johansen协整检验,70,为了确定协整关系的数量，依次进行从r=0到r=k-1的检验，直到被拒绝。这个序贯检验的结果在每一个表的最下方显示。作为一个例子，例9.4协整检验的输出结果如下，其中检验假设序列yt有确定性线性趋势，但协整方程只有截距（对话框中第三种情况），并用差分的3阶滞后，在编辑框中键入：13,例9.4协整检验,在例9.4的VAR(3)模型中曾提到在yt=(y1t，y2t，y3t，y4t，y5t)这5个变量之间存在协整关系，下面给出协整检验的结果：,第四节Johansen协整检验,71,72,(2)协整关系输出的第二部分给出协整关系和调整参数的估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整向量是不可识别的。在第一块中报告了基于正规化约束条件S11=I（其中S11在Johansen(1995a)中作出了定义）的和的估计结果。注意：在UnrestrictedCointegratingCoefficients下的输出结果：第一行是第一个协整向量，第二行是第二个协整向量，以此类推。其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r=0，1，k-1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法是：在系统中，前r个变量作为其余kr个变量的函数。近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出。,第四节Johansen协整检验,73,第四节Johansen协整检验,74,Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正模型。在第六章已经证明只要变量之间存在协整关系，可以由自回归分布滞后模型导出误差修正模型。而在VAR模型中的每个方程都是一个自回归分布滞后模型，因此，可以认为VEC模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间