江苏省歌风中学（如皋办学）2020届高三数学复习 专题 解析几何 第一讲 直线与方程

专题 解析几何：第一讲 直线与方程活动一：基础检测1已知2xy50，则的最小值是_2(2020上海)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是_3如果AC0，且BC2，b1)，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.当且仅当，即a4，b2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，变形得(a2)(b1)2，PAPB.当且仅当a21，b12，即a3，b3时，PAPB取最小值4.此时直线l的方程为xy30.变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程为1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则SPQPR(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)当m5时，S有最大值，这时5.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大【例4】(2020北京东城区模拟)若O(0,0)，A(4，1)两点到直线axa2y60的距离相等，则实数a_.审题视点 由点到直线的距离公式列出等式求a.解析由题意，得，即4aa266，解之得a0或2或4或6.检验得a0不合题意，所以a2或4或6.答案2或4或6变式迁移4解(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线【例5】光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程审题视点 设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则直线AD经过点B与C.解作出草图，如图所示设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为10x3y80. 解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上【训练5】 已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是_解析l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则得即(1,0)、(1，1)为l2上两点，可得l2方程为x2y10.答案x2y10自主检测1. 2或02. 3.44三解析由已知得即a0，b0.由bxayab0知yxb.该直线的斜率k0，故该直线一定不经过第三象限52xy30或x2y0解析当截距不等于零时，设l的方程1，点P在l上，1，则a.l的方程为2xy3.当截距等于零时，设l的方程为ykx，又点P在l上，k.x2y0.综上，所求直线l的方程为2xy3或x2y0.6272xy0解析由已知方向向量得直线斜率k2，由点斜式方程得2xy0.8xy50解析易知A(1,0)，PAPB，P在AB的中垂线即x2上B(5,0)PA、PB关于直线x2对称，kPB1.lPBy0(x5)xy50.9解析设M(x0，y0)，则x02y020，d(B，M)|x01|y0|x01|所以当x01时，d(B，M)取最小值，此时y0，所以M.答案10.解方法一直线xmym0恒过A(0，1)点(4分)kAP2，kAQ，(8分)则或2，m且m0.(12分)又m0时直线xmym0与线段PQ有交点，(13分)所求m的范围是m.(14分)方法二过P、Q两点的直线方程为y1(x1)(5分)即yx，代入xmym0，整理得：x，由已知12，(12分)解得：m.(14分)11(1)证明直线l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(4分)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k0；(7分)当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(9分)(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.(11分)SOAOB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时l：x2y40.(14分)12、(1) 因为，所以，1分又因为，所以，所以，3分由，得，所以直线的斜率， 5分所以直线的方程为，即6分13解析由题意知