广东省广州市花都区狮岭中学2020届高三数学模拟考试试题（3） 理 新人教A版

花都区狮岭中学花都区狮岭中学 20202020 届高三第三次模拟测试数学（理）试题届高三第三次模拟测试数学（理）试题 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置填涂答案） 已知全集UR，集合，则等于 |1| 1AxxACU A.， B. ， C.， D.，(02)(02)02 等比数列中，又，则公比 n a 1 1 2 a 1423 4a aa a q A B C2 D22 33 在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应 的复数是 A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 已知 a、b 是实数，则“a1，b2”是“a+b3 且 ab2”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条 5 中，角所对的边，若，则ABCABC、abc、3a 3 A 5 cos 5 B b A B C D 8 5 5 2 5 5 4 5 5 12 5 5 6已知函数满足：当 x1 时，=；当 x1 时，=，则( )f x( )f x) 1( xf( )f x x 2 =)7(log2f A B C D 16 7 8 7 4 7 2 7 7某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表： 认为作业多认为作业不多总数 喜欢玩电脑游戏 18927 不喜欢玩电脑游戏 81523 总数 262450 根据表中数据得到，参考下表： 2 5018 158 9 5 059 2723 24 26 k () . P(K2k)0.0500.0250.0100.001 k3.8415.0246.63510.828 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为 A97.5% B95% C90% D99.9% 8 起点到终点的最短距离为 A16 B17 C 18 D19 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能 选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. 9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的1000185 样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生_ _人.7560 10已知单位向量，其夹角为，则=_ab 3 ba 11已知随机变量， . 2 (2,)N 3 (1) 4 P (5)P 12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_； 13甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠 4 小时、8 小时，假定它们在一昼夜的时间 段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 14 （坐标系与参数方程选做题） 如图，PA是圆的切线， A为切点，PBC是圆的割线，且，则 BC PB1 2 PA BC 15 （坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 4cos 4 关于直线 。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16、设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负cos3sin)(fx 半轴重合，终边经过点，且.),(yxP0 （1）若点的坐标为，求的值；P) 1 , 3()(f （2）若点为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数),(yxP 1 1 y xy yx 的最小值和最大值.)(f 17、今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此 计算出自己每天的碳排放量例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数0.785，汽车 的碳排放量（千克）=油耗公升数0.785 等某中学高一一同学利用寒假在两个小区逐户进 行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否 则称为“非低碳族” 这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如右： （1）如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的 概率； （2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族 中有 20%的人加入到低碳族的行列.如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 人，记表示 25 个 人中低碳族人数，求E.Z&xx 18、如图，在直棱柱中，延长至， 111 ABCABCACBC 1 1ACBCAAACD 使，连结 ACCD 11 ,BD B D CD C D （1）； 11 ACB D （2）求五面体的体积 111 BBA ADC （3）求平面与平面所成锐二面角的正切值 11 BC DABC 19.（本小题满分 14 分）已知函数. 32 1 3 f xxaxbx Ra,b （）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线 C : yf x1 2P, CP 平行，求的值； 230 xya,b （）在（）的条件下，试求函数（为实常数， 2 7 1 3 g xmf xx m ）的极大值与极小值之差； 1m （）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：. f x1 2 , 02ab 20、给定椭圆：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C 22 22 1 (0) xy ab ab 22 ab 的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为3.C( 2,0)F （1）求椭圆及其“准圆”的方程；C （2）设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P任作两条直线、 ，使得 、与 1 l 2 l 1 l 2 l 椭圆都只有一个公共点，试判断与是否垂直？并说明理由.C 1 l 2 l 21、已知数列的前项和为， n an)2( 12 2 nnSn 21 sinsinsin nnnn aaab （1）求证：为等比数列，并求出其首项与公比； n b （2）记，求数列的前项和 1 1 coscos n nn c aa n cn n T 理科数学答案与评分标准 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16、 （1）由三角函数的定义，得， 2 1 sin 2 3 cos 故.2 2 3 3 2 1 cos3sin)(f （2）作出平面区域（即三角形区域）如图所示，ABC 其中，于是.) 1 , 0(A) 2 1 , 2 1 (B) 1 , 1 (C 24 17、 （1）记这 4 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A， P(A)= 100 33 5 4 5 4 2 1 2 1 5 1 5 4 2 1 2 1 4 5 1 5 1 2 1 2 1 （2）设 A 小区有人，2 周后非低碳族的概率，a 25 8 ) 5 1 1 ( 2 2 1 a a p 2 周后低碳族的概率= 25 17 25 8 1 ， 依题意B(25， 25 17 )，所以 E=25 25 17 =17 p （2）五面体的体积 111 BBA ADC 。 1 1 11 1 11 11115 23236 ABC A B CD BB C C VVVACBCAABCAACD x y o A B C P （3）作，且。因为，所以。/DFBCDFBCACBCDFAD 又平面，所以平面，即。 11 BC 11 A ACC 11/ BCBCBC 11 A ACC 1 BCC D 由，得。/DFBC 1 DFC D 所以为平面与平面所成锐二面角的平面角。 1 ADC 11 BC DABC 所以平面与平面所成锐二面角的正切值为。 11 BC DABC 1 1 tan1 CC ADC CD （也可用空间向量求得平面与平面所成锐二面角的正切值为 1） 11 BC DABC （）由（）知：， 32 127 333 f xxxx 2 32 1 2 3 m g xxx , 由，或.5 分 2 4 1 3 gxmx x 00gxx 4 3 x 当，即或时，变化如下表 2 10m 1m,1m x gx g x x0 ,0 4 0 3 , 4 3 4 3 , gx +0-0+ g x极大值极小值 由表可知： 7 分 4 0 3 g xg xgg 大大大大 22 3232 011 8181 mm 当即时，变化如下表 2 10m, 11m x gx g x x0 ,0 4 0 3 , 4 3 4 3 , gx -0+0- g x极小值极大值 由表可知： 8 分 4 0 3 g xg xgg 大大大大 22 3232 101 8181 mm 综上可知：当或时，； 1m,1m g xg x 大大大大 2 32 1 81 m 当时， 9 分 11m g xg x 大大大大 2 32 1 81 m （2）由于直线、的斜率可能存在，也可能不存在，下面分两种情况加以讨论. 1 l 2 l 当、中至少有一条直线的斜率不存在时，不妨设 1 l的斜率不存在. 1 l 2 l 因为 1 l与椭圆只有一个公共点，所以 1 l的方程为.C3x 当 1 l的方程为时，此时 1 l与“准圆”交于、两点.3x ( 3,1)( 3, 1) 此时经过点且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是，( 3,1)C1y 经过点且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是.( 3, 1)C1y 即的方程是为或，显然.同理可证，当 1 l的方程为时，也有 2 l1y 1y 12 ll3x . 12 ll 当、的斜率都存在时，设、的斜率分别为、.设，则. 1 l 2 l 1 l 2 l 1 k 2 k 00 (,)P xy 22 00 4xy 设经过点且与椭圆只有一个公共点的直线方程为. 00 (,)P xy 00 ()yyk xx 由消去得. 00 2 2 (), 1, 3 yyk xx x y y 222 0000 (1 3)6 ()3()30kxk ykx xykx 由 ， 222 0000 6 ()4(1 3)3()30k ykxkykx 21、 （1）数列的前项和为 n an)2( 12 2 nnSn 4 11 Sa 当时，2n ) 14( 12 )1() 1(22 12 22 1 nnnnnSSa nnn 又适合上式，因此，对一切，都有 1 anN) 14( 12 nan 从而故是首项为，公差为的等差数列 3 ) 14( 12 )34( 12 1 nnaa nn n a 4 3 对于任意的正整数，都是奇数，从而不是的整数倍，n41n n a0sin n a 0sinsinsin 21 nnnn aaab 因为是公差为的等差数列，所以 n a 3 1 sin ) 3 3sin( sin sin sinsinsin sinsinsin 3 21 3211 n n n n nnn nnn n n a a a a aaa aaa b b 又) 3 2 4 sin() 34 sin( 4 sinsinsinsin 3211 aaab 8 2 ) 2 1 2 3 )( 2 1 2 3 ( 4 2 ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 2 ) 3 sin 3 (cos 2 2 2 2 数列是首项为，公比为的等比数列， n b 8 2 1 1 ) 1( 8 2 n n b （2）解：由于 1 111 22 sinsin() 13 33 coscoscoscoscoscos nn n nnnnnn aa c aaaaaa 11 1 1 sincoscossin22 (tantan) coscos33 nnnn nn nn aaaa aa aa 所以 11 22 3(43)2 3(43) (tantan)tantantan1 31243123 nn nn Taa 19 用电量分为高峰和低谷两个时间段计算，并按用电量多少分三档进行计费，现提供如下两 种方案征求居民意见。 （2020.05.10） 方案一高峰时段电价低谷时段电价 第一档（月用电量不超过 140 千瓦时）0.61 元/千瓦时0.30 元/千瓦时 第二档（月用电量超过 140-200 千瓦时部分）0.66 元/千瓦时0.35 元/千瓦时 第三档（月均用电量超过 200 千瓦时部分）0.81 元/千瓦时0.50 元/千瓦时 方案二高峰时段电价低谷时段电价 第一档（月用电量不超过 210 千瓦时）0.61 元/千瓦时0.30 元/千瓦时 第二档（月用电量超过 210-430 千瓦时部分）0.66 元/千瓦时0.35 元/千瓦时 第三档（月均用电量超过 430 千瓦时部分）0.91 元/千瓦时0.60 元/千瓦时 （1）若邝先生家 6 月份高峰时段用电量为 220 千瓦时，低谷时段用电量为 220 千瓦时， 按方案一、方案二计费，邝先生家 6 月份应付电费选择哪种方案更省钱？ （2）若邝先生家 6 月份高峰时段用电量为千瓦时，低谷时段用电量为千瓦时，x600 x 按方案二计费，当取何值时，邝先生家 6 月份应付电费最省？x 19（1）按方案一计费，邝先生家 6 月份应付电费 140 0.61 60 0.6620 0.81 140 0.3060 0.3520 0.50 元；85.4039.00 16.2042.0021.00 11.00215.2 按方案二计费，邝先生家 6 月份应付电费 元；210