江苏省姜堰市溱潼中学2020届高三数学基础知识梳理 第2章 函数

第二章 函数基础知识梳理一、函数： 1.函数的近代定义：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函数，记作y=f (x)，其中xA，yB.原象的集合A叫做函数y=f (x)的定义域，象集合C（CB）叫做函数y=f (x)的值域. 函数的三要素是： 、 、 . 函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 关于区间的概念： 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ； 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为 ； 满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 或 . 以上的实数a与b都叫做相应区间的端点. 函数解析式的求法：换元法；待定系数法. 求函数定义域的主要依据： 分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数不小于零；对数的真数大于零； 零指数幂的底数不等于零；指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； 对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制. 求函数值域的方法有：配方法；换元法；判别式法；单调性法； 基本不等式法；数形结合法；三、函数的单调性： 函数单调性的定义： 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 都有f (x1)f (x2),那么就说f (x)在这个区间上是增函数. 这个区间叫增区间. 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时, 都有f (x1)f (x2), 那么就说f (x)在这个区间上是减函数. 这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间. 函数单调性的判别方法：图象法.若函数f (x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；1定义法.其一般步骤是： 值.在所给区间上任取x1x2；作差f (x1)f (x2)；变形.分解因式或配方等；定号.看 f (x1)f (x2)的符号；下结论. 利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出. 函数f (x)与f (x)+c(c为常数)具有相同的单调性； 当c0时,函数f (x)与cf (x)具有相同的单调性；当c0时,函数f (x)与cf (x)具有相反的单调性； 若f (x)0,则函数f (x)与具有相反的单调性； 若f (x)0,则函数f (x)与具有相同的单调性； 若函数f (x), g(x)都是增函数,则f (x)+g(x)也是增函数； (增+增=增) 若函数f (x), g(x)都是减函数,则f (x)+g(x)也是减函数； (减+减=减) 若函数f (x)是增函数, g(x)是减函数,则f (x)g(x)也是增函数；(增减=增) 若函数f (x)是减函数, g(x)是增函数,则f (x)g(x)也是减函数；(减增=减) 另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出） 一些特殊函数的单调性： 一次函数y=kx+b,当k0时,在R上是 ；当k0时,在R上是 . 二次函数y=ax2+bx+c, 当a0时,在(,上为 ,在,+)上为 ； 当a0时,在(,上为 ,在,+)上为 . 反比例函数y=,当k0时,在(,0),(0,+)上都是 ； 当k0时,在(,0),(0,+)上都是 . 指数函数y=ax,当a1时,在R上是 , 当0a1时,在R上是 . 对数函数y=logax,当a1时,在(0,+)是 , 当0a1时,在(0,+)是 . *记住重要函数y=x+的单调性,并会证明：当x0时，函数在(0,)上单调递减,在,+上单调递增；当x0时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.四、函数的奇偶性： 函数奇偶性的定义： 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数.如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f (x)=f (x),那么函数f (x)叫做奇函数.注意：由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称. 函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数 具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性). 注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0. 例：f (x)=0,x(1,1)；f (x)=0,x2,2；f (x)=等等. 具有奇偶性函数的图象特征： 奇函数图象关于 对称； 偶函数图象关于 对称. 判断函数奇偶性的方法： 图象法； 定义法.其一般步骤是： 求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性； 若对称,再进行第二步； 判断f (x)与f (x)的关系,并下结论. 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数； 若f (x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数； 若f (x)=f (x)且f (x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数； 若f (x)f (x)且f (x)f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性； 若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .f (0)=0是f (x)是奇函数的 条件.六、函数图象的变换： 平移变换： y=f (x)的图象沿x轴向右平移a (a0)个单位得到y=f (xa)的图象； y=f (x)的图象沿x轴向左平移a (a0)个单位得到y= f (x+a)的图象； y=f (x)的图象沿y轴向上平移a (a0)个单位得到y= f (x)+a的图象； y=f (x)的图象沿y轴向下平移a (a0)个单位得到y= f (x)a的图象. 对称变换： (一)两个函数图象的对称关系： y=f (x)与y=f (x)的图象关于x轴对称； y=f (x)与y=f (x)的图象关于y轴对称； y=f (x)与y= f (x)的图象关于原点轴对称； y=f (x)与y= f 1(x)的图象关于直线y=x轴对称； y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y轴左边部分而得到； y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去； *函数y=f (a+mx)与函数y=f (bmx)(a、b：mR,m0)的图象关于直线x=对称. 七、指数与指数函数： 根式的定义： 方根：如果一个数的n次方等于a (n1且nN*),那么这个数叫做a的n次方根. 即：若x n=a,则x叫做a的n次方根. 根式：式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. 当n是偶数时, 表示正数a的正的n次方根. 根式的性质：()n = a； 当n为奇数时, 当n是偶数时；. 分数指数幂： 当a0,m、nN*且n1时,规定： ； ； ； 无意义. 有理指数幂的性质： aras=ar+s (a0, r、sQ)； (ar)s=ar s (a0, r、sQ)； (ab)r=arbr (a0, b0,rQ). 指数函数： 指数函数的定义：把形如y=ax(a0,且a1)的函数叫做指数函数. 指数函数的图象和性质： y=ax(a0,且a1) a1 0a1图 象 性 质定义域值 域单调性其 它性 质x0时,y1；x0时,0y1；x=0时,y=1. 即图象恒过点(0,1)x0时, 0y1；x0时, y1；x=0时,y=1. 即图象恒过点(0,1)八、对数与对数函数： 对数的概念： 对数的定义：如果a(a0,a1)的b次幂等于N，即ab=N,那么,数b叫做以a为底 N的对数.其中,a叫做对数的底数,N叫做对数的真数. 常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记log10N为lgN. 自然对数：把以e为底的对数叫做自然对数,并记logeN为lnN. 其中e=2.71828,是一个无理数. 对数恒等式：. 对数的运算法则： 如果a0,a1,M0,N0,那么 loga(MN)= logaM+logaN；logaMn=n logaM. 对数的三个性质：1的对数为0(即loga1=0)；底的对数为1(即logaa=1)；零