河北省保定市2020届高三数学10月摸底考试试卷 理（含解析）

河北省保定市2020届高三10月摸底考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题可以先对集合中的的取值范围以及集合中的取值范围进行求解，再取其并集得出结果。【详解】故选D。【点睛】本题考查的是函数的定义域以及集合的并集，函数的定义域由构成函数的基本函数的性质决定。2.若 ，则（ ）A. 2 B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】本题可以先将化简，然后利用复数的性质求出的值，最后求出的值。【详解】因为所以所以故选B。【点睛】本题考查的是复数的计算，如果有两个虚数相等的话，则他们的实部与虚部都相等。3.已知，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】本题可以先计算出的取值范围，然后通过比较与的取值范围之间的关系，得出结果。【详解】因为与没有关系，所以是的既不充分也不必要条件，故选D。【点睛】在判断充要条件的时候，可以分别求出对应的元素的集合，再比较集合之间的关系，然后通过集合之间的关系来确定充要条件。4.已知等比数列中，有，数列是等差数列，且，则（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 15【答案】C【解析】【分析】本题可以先通过等比中项求出的值，再通过求出的值，最后通过等差中项得出的值。【详解】因为数列是等比数列，所以因为数列是等差数列，且，所以故选C。【点睛】本题考查的等差中项与等比中项，等差中项：等比中项：。5.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：需满足，解得.故选A.考点：1.命题的真假；2.一元二次不等式.6.设满足约束条件，设向量，若，则的最大值为（ ）A. -6 B. 6 C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过得出所可以取值的范围，再通过得出与的关系，最后通过所可以取值的范围得出的最大值。【详解】由可知所可以取值的范围的三个交点为，因为，所以，由线性规划可知当取点时取最大值故选B。【点睛】本题考查的是线性规划，可通过平面直角坐标系以及题目所给出的不等式组得出所可以取值的范围，考查函数思想与化归思想。7.已知函数，则函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数f(x)|x|，对于x0,x0,分情况讨论得到其解析式，然后作图可知选B.8.一个矩形的周长为，面积为，则如下四组数对中，可作为数对的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题可以先通过矩形的面积和周长公式得出和的公式，再通过基本不等式得出和的关系，最后将题目所给四组数依次带入，得出正确的结果。【详解】设矩形的两相临边长为分别为，那么则有因为所以有将四组数分别带入可知正确，故选A。【点睛】本题主要考查基本不等式，需要通过矩形的面积和周长公式来找出矩形的面积和周长的联系，基本不等式：，考查转化思想。9.若函数在处没有定义，且对于所有非零实数，都有，则函数的零点个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过来求出的解析式，再求出的解析式，最后得出函数的解析式以及其零点。【详解】因为，所以，即，减可得即，所以，即所以有两个零点，故选B。【点睛】再碰到类型的条件的时候，可以通过令得出另一个解析式，再将两式联立即可以得出的解析式。10.数列的通项公式，前项和，则（ ）A. 1232 B. 3019 C. 3025 D. 4321【答案】C【解析】【分析】本题给出的通项公式中有，所以可以对进行等于四种情况进行探讨，然后再对进行展开化简，最后得出结果。【详解】当时，当时，当时，当时，由此可得： 故选C。【点睛】在碰到非常规数列的时候，可以先通过求出数列中的一些项的值，然后在其中寻找规律，以求出数列前项和的值。11.下列说法：命题“，”的否定是“，”；函数在闭区间上是增函数；函数的最小值为2；已知函数，则，使得在上有三个零点.其中正确的个数是（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】【分析】本题中的需要注意为增函数即为减函数；中需要考虑的是的取值范围；中在将函数转化为分段函数计算出零点的时候一定要注意零点的是否在对应的取值范围内。【详解】正确；错误：函数，其增区间为化简得故错误；错误：函数因为，所以函数，故错误；错误：，当时，或, 因为，所以，当时，, 因为，所以不存在，综上所述时只有一个零点，故错误，综上所述：故选C。【点睛】本题主要考查了命题的否定以及函数的性质，在计算函数类题目的时候，我们一定要对基本函数的定义域、奇偶性、单调性等基本性质有着足够的了解，并且在实际应用的时候，一定要考虑到实际情况。12.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形的周长为4米，沿折叠使到位置，交于，研究发现，当的面积最大时最节能，则最节能时的面积为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题可以先通过设分别为，再通过题目所给信息以及得出之间的关系，然后通过的面积列出算式，当其最大时求出的值，最后得出结果。【详解】设为，为，因为四边形是周长为4的长方形，为所以为为，因为为，所以为由题意可知，所以有即，化简得，所以化简得所以当时面积最大，此时，故选C。【点睛】本题在计算过程中，首先要对图像以及题目所给的条件有着一个充足的了解，再通过各边之间的关系列出算式求出所需要的值。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若点在函数的图像上，则_【答案】4【解析】【分析】本题可先将点带入中求得的值，再求出的值。【详解】因为点在函数上，所以有所以【点睛】本题主要考察的是对数以及指数的运算，对对数以及指数的相关运算要有着足够的了解。14.设，则的大小关系是_【答案】【解析】【分析】本题可以先计算出的值，再将与比较大小，然后将与比较大小，最后得出三者之间的大小关系。【详解】所以，综上所述，。【点睛】在比较数与数之间的大小关系的同时，不一定需要两者直接进行比较，可以先通过两个数字和一个参照数字分别比较，比如说一个比大，一个比小，则可以得出两数的大小关系。15.中，若成等比数列，成等差数列，则角_【答案】 【解析】【分析】本题可先通过成等比数列得出，再通过成等差数列通过化简可以得出，两式联立，得出，最后解出的值。【详解】因为成等比数列，所以，因为成等差数列，所以，即【点睛】本题考查了等差中项、等比中项以及向量的数乘的运算，需要能够对这三个公式进行灵活运用。16.已知定义域为的函数，满足如下条件：对任意实数都有；，.则_【答案】【解析】【分析】本题可以通过以及这些条件，通过分别取和两种情况得出函数的奇偶性以及周期，再通过取得出的值，最后得出结果。【详解】取，则得,即函数为奇函数；取，则得,所以函数的周期为；再取得所以；又由于函数为奇函数，所以。【点睛】本题考查的是对函数的性质的理解与推导，可通过取特殊值的方法来确定函数的奇偶性以及周期性。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 在一个周期内的部分对应值如下表：0020（1）求的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的的值.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）首先，可以通过的最大值和最小值得出A的值，再通过两个的最小值所对应的的值得出周期，从而计算出的值，最后再通过将点带入计算得出的值；（2）可通过解析式得出解析式，再将其利用三角恒等变换进行化简，【详解】（1）由表格可知，的周期，所以. 又由，所以.所以. （2） . 由，所以当时，有最大值；因为 所以或 。【点睛】本题考查的是对三角函数的解析式的理解以及最值，可以通过三角函数最值来得出，可通过三角函数周期得出，则可以通过带入点坐标得出，并且在求最值的时候，一定要注意不要忘了三角函数是周期函数，一个最值对应了无数个。18.已知公比为的等比数列，满足，且是的等差中项.（1）求；（2）若，求数列的前项和 .【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）可通过计算出或，再通过是的等差中项计算出，最后得出结果；（2）可先通过解析式得出解析式，然后写出与的解析式，最后通过错位相减法得出结果。【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意，有即，由得 ，解得或，代入知不适合，故舍去；（2）当时，代入得，所以，所以，所以，两式相减得：， 所以。【点睛】错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。形如，其中为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。19.在中，设分别是内角的对边，若.（1）求；（2）若为中点，求的面积.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）首先可以通过二倍角公式对其进行化简，再通过解三角形的正弦公式化简得，最后与解三角形的余弦公式进行联立得出结果；（2）可通过余弦定理以及计算出的值，再通过计算出面积。【详解】（1）由题意得由正弦定理得 即，由余弦定理得 所以 ；（2）由题意， 即所以，故所以。【点睛】本题主要考查解三角形，需要对题目所给条件和解三角形的正弦、余弦、面积公式进行综合运用。20.已知函数的一个极值点为.（1）求的值；（2）若在区间上存在最小值，求的取值范围.【答案】（1）； （2） .【解析】【分析】（1）可先对函数进行求导，再代入，进而计算出的值；（2）首先可以对函数进行求导，再通过解得出的值，然后对依次进行讨论，最后得出结果。【详解】（1）因为函数的一个极值点，所以.所以（2）函数的定义域是. 令，即，或. 当，即时，在上单调递增，没有最小值当即时，在上存在最小值； 当，即时，在上单调递减，没有最小值,所以。【点睛】本题考查的是对于函数求导以及最值的理解，通过函数求导来求出函数最值，可以通过先求即函数为极值时的值，再在极值和端点中寻找最值。21.已知点，和互不相同的点，满足 ，其中，分别为等差数列和等比数列，为坐标原点，若.（1）求的坐标；（2）试判断点能否共线？并证明你的结论.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）设出后可以将写出来，再通过得出结果；（2）可将公差与公比设出，再对且、且、且三次情况分别进行讨论，最后得出结果。【详解】（1）设，则由得，所以可得 （2）设的公差为，的公比为若且，都在直线上； 若且，都在直线上； 若且，共线 与共线（） 与矛盾，所以当且时，不共线.【点睛】本题考查共线向量，考查辩证思想以及类比推理，如果有许多个点想要在一条直线上的话则必须要每两点的所形成的向量都共线。22.已知函数，在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值.【答案】（1）； （2）见解析； （3）2 .【解析】【分析】（1）本题可以先对函数求导，再通过以及计算