江西省赣州中学2020届高三数学上学期9月模拟考试题 理

江西省赣州中学2020届高三上学期9月模拟考试卷理科数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列关于命题的说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题是“若，则”B命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C命题“，”的否定是“，”D命题“若，则”的逆否命题是真命题4已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）ABCD6执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD7已知平面向量，满足，则（ ）A2B3C4D68已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）ABCD9已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD10为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）ABCD11已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）ABCD12定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为_14已知实数，满足不等式组，且的最大值为，则_15已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于_16如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心为，并且，若将点到正八角星16个顶点的向量都写成，、的形式，则的取值范围为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和18（12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值19（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于60本的人数；（2）一只阅读量在，内的学生人数比为2:3:5为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在内的人数，求的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）20（12分）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；（3）求证：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）射线：（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）求函数的值域；（2）若，试比较，的大小江西省赣州中学2020届高三上学期9月模拟考试卷理科数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】集合，则，故选B2若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】由，得，得，即的取值范围为，故选B3下列关于命题的说法正确的是（ ）A命题“若，则”的否命题是“若，则”B命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C命题“，”的否定是“，”D命题“若，则”的逆否命题是真命题【答案】B【解析】逐一分析所给命题的真假：A命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；B命题“若，则，互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；C命题“，”的否定是“，”，题中说法错误；D命题“若，则”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误；故选B4已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们的焦距相等B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同D它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同故本题答案选D5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体容易算得底面面积，所以其体积，应选答案D6执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由程序框图则，；，；，；，由规律知输出故本题答案选B7已知平面向量，满足，则（ ）A2B3C4D6【答案】B【解析】由题意可得：，且：，即，由平面向量模的计算公式可得：故选B8已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）ABCD【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以则，图象过点，则，即，所以，又，则故，令，得，令，可得其中一个对称中心为故本题答案选C9已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】可设为椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，取，点到直线的距离不小于，解得，椭圆的离心率的取值范围是，故选B10为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题知结果有三种情况（1）甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；（2）甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；（3）甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选B已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的离心率，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标再在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出，从而解决问题解：由题意知：、，内切圆与轴的切点是点，作图，及圆的切线长定理知，设内切圆的圆心横坐标为，则|，在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，在三角形中，有，故选A12定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上的值域是，在上的值域是，所以函数在上的值域是，因为，所以，所以在上的值域是，当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得；当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得，当时，为常函数，值域为，不符合题意，综上，的范围是，故选D第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为_【答案】3【解析】因为，且，所以， ，相乘可得，故答案为314已知实数，满足不等式组，且的最大值为，则_【答案】【解析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则则故本题应填15已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于_【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上在中，整理得又在中，有，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得四棱锥的体积最大时，底面边长等于，故答案为16如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星设正八角星的中心为，并且，若将点到正八角星16个顶点的向量都写成，、的形式，则的取值范围为_【答案】【解析】以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设圆的半径为1，则，过作，交轴于，则为等腰三角形，此时，同理，此时，此时，此时，在顶点，处，的最大值为，最小值为，故答案为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足：，且，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】（1）设的公差为，则由已知得，即，解之得：或（舍），所以；因为，所以的公比，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以18（12分）如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）如图，延长交于点因为为的重心，所以为的中点因为为的中点，所以因为是圆的直径，所以，所以因为平面，平面，所以又平面，平面，所以平面即平面，又平面，所以平面平面（2）以点为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，则，则，平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量在中，由，得，则，设，所以设二面角的大小为，则19（12分）1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组，并整理得到如图频率分布直方图：（1）估计其阅读量小于60本的人数；（2）一只阅读量在，内的学生人数比为2:3:5为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用表示所选学生阅读量在内的人数，求的分布列和数学期望；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）【答案】（1）20；（2）；（3）第五组【解析】（1）（人）（2）由已知条件可知：内的人数为：，内的人数为2人，内的人数为3人，内的人数为5人的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为012（3）估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第五组20（12分）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得，所以由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得所以椭圆的方程为（2）直线的解析式为，设，的中点为假设存在点，使