江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）

江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2020届高三数学4月联考试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】变形原式，利用复数的除法运算法则化简复数，再根据复数模的公式求解即可.【详解】，故选B.【点睛】复数是高考中必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用绝对值的性质化简集合，利用对数函数的定义域化简集合，然后根据交集的定义求解即可.【详解】，或 ，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.3.已知命题，命题：双曲线的离心率，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的方程与离心率范围化简命题，利用包含关系，结合充分条件与必要条件的定义列不等式求解即可.【详解】由，得或，化为或，等价于，因为命题，所以能推出， 不能推出， 是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题通过双曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.已知数列是等比数列，若，且公比，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得，结合可得结果.【详解】，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为的正方形和构成的标靶图形，如果点正好是正方形的中心，而正方形可以绕点旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断与全等.正方形和重叠部分等于的面积1，又正方形和构成的标靶图形面积为7，由几何概型概率公式可得到结果.【详解】如图，连接，可得得与全等，即正方形和重叠的面积为1，又正方形和构成的标靶图形面积为， 故小华随机向标靶飞镖射中阴影部分的概率是，故选D.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.6.已知实数满足，则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】变形，转化为斜率问题，画出可行域，利用线性规划、数形结合可得的最小值，从而可得结果.【详解】化简，只需求出的最小值，画出表示的可行域，如图，由可得，即表示可行域内的点与点连线的斜率，由图可知斜率最小值为，所以，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.某四面体三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该四面体为是一个侧面是等腰三角形且与底面垂直，底面为直角边长是2的等腰直角三角形，由三视图中数据求出各棱长，进而可得结果.【详解】由三视图得该四面体的直观图如图，图中三角形是等腰三角形，且三角形的中线是的高为2，底面为是直角边为2的等腰直角三角形，6条棱长分别是，该四面体最长的棱长与最短的棱长分别为3、2，该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是，故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.已知，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】关于的方程恰有两个不同实根，等价于的图象有两个不同的交点,画出的图象，数形结合可得结果.【详解】关于的方程恰有两个不同实根，等价于的图象有两个不同的交点，画出的图象，如图，由图可知，当时，的图象有两个不同的交点，此时，关于的方程恰有两个不同实根，所以实数的取值范围是，故选B.【点睛】函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.9.已知函数和的图象的对称轴完全相同，则下列关于的说法正确的是（）A. 最大值为B. 在单调递减C. 是它的一个对称中心D. 是它的一条对称轴【答案】D【解析】【分析】由周期相同，求出，由对称轴相同求得，可得结合余弦函数的性质，对选项逐一判断即可.【详解】和的图象的对称轴完全相同，周期相等，令，得，由，得所以, 且，得，的最大值为4，错误；时，不是单调函数，错误；不在图象上，不是其对称中心，错误；因为为函数的最大值，所以是对称轴，正确，故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合三角函数的周期性、对称性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10.下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续次考试成绩均不低于分”.现有甲、乙、丙三位同学连续次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：甲同学：个数据的中位数为，众数为；乙同学：个数据的中位数为，总体均值为；丙同学：个数据的中位数为，总体均值为，总体方差为；则可以判定数学成绩优秀同学为（）A. 甲、丙B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、乙、丙【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由中位数、众数的定义判断甲为优秀，排除；利用特殊值判断乙不一定优秀，排除.【详解】对于，中位数为，后3位同学成绩不低于127，又众数为120，前两位同学成绩必为120，次成绩都不低于120，甲为优秀，排除；对于，当个数据为时，中位数为，总体均值为，即乙不一定优秀，排除，故选A.【点睛】排除法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式、命题真假问题等等.11.已知曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线，是曲线与的交点，且为钝角，若，则的面积是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过作抛物线的准线，过作于， 作 于，由抛物线的定义可知，由勾股定理分别求出三角形的底与高，从而可得结果.【详解】过作抛物线的准线，过作于， 作 于，由抛物线的定义可知，由勾股定理得，可知，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆几何性质以及抛物线的方程与性质，属于中档题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化使问题得到解决.12.已知函数，函数的最小值，则实数的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得，先证明，可得当时，单调递减，当时，单调递增，则，设，可证明在上单调递减，从而可得结果.【详解】求得考察是否有零点，令，可得，记，,在上递减，在上递增，所以 ，即，因为,所以，故可知，当时，单调递减，当时，单调递增，从而由上知，设，记在上单调递减，的最小值为0.故选C.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数最值步骤：(1) 求导数；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式展开式的常数项为，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为列方程求解即可.【详解】二项式展开式的通项为， ，令，得， 常数项为，得，故答案为.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.若函数为偶函数，则_【答案】【解析】【分析】由函数为偶函数，求得，再利用微积分基本定理求解即可.【详解】为偶函数，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查已知函数的奇偶性求参数以及微积分基本定理的应用，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.15.在中，所对的角为，满足条件： 且，则边长的值为_【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式可得，求得，将平方，结合求得，再利用余弦定理可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，故答案为3.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到16.已知在三棱锥中， ，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】设中心为，外心为，则是斜边的中点，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，求得，利用勾股定理可得，从而可得结果.【详解】,是正三角形，是等腰直角三角形，设中心为，外心为，则是斜边的中点，所以，设三棱锥外接球球心为，则平面平面，由余弦定理，设球半径为，球的表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以设出或直接找出球心和半径.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列满足（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由可得为常数，从而可得结果；（2）由（1）知则 ，利用分组求和法与裂项相消法求和即可.【详解】（1） 为常数又数列是以为首项为公差的等差数列.（2）由（1）知 所以，数列的前项和为.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图所示多面体，其底面为矩形且，四边形为平行四边形，点在底面内的投影恰好是的中点.（1）已知为线段的中点，证明：平面；（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结交于，连结由三角形中位线定理可得，可得平面，可证明平面，从而平面平行于平面平面；（2）以的中点为原点，以、的垂直平分线、为坐标轴，建立如空间直角坐标系，设，求出平面的法向量与平面的法向量，由二面角大小为，利用空间向量夹角余弦公式求出，求出的坐标，由夹角公式可得结果.【详解】（1）连结交于，连结为的中位线，平面，而平面平面.又知平面平面平面，相交，由它们确定的平面平行于平面平面平面.（2）以的中点为原点，以的垂直平分线、为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，其余各点分别是：，所以又设平面的法向量为.由令，得易得平面的法向量为因为二面角大小为.所以由，解得. 且 故直线与平面所成角的正弦为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，利用空间向量求二面角与线面角，属于综合题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.2020年2月25日，第届罗马尼亚数学大师赛（简称）于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第名，总成绩排名第.而在分量极重的国际数学奥林匹克（）比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，也已经有连续年没有拿到冠军了.人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会热点.某重点高中培优班共人，现就这人“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”合计男生5女生10合计50若采用分层抽样的方法从人中抽出人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有人.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？请说明你的理由；（2）现从这人中抽出名男生、名女生，记此人中认为不应下“禁奥令”的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式与数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）有的把握；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据所给数据可补充列联表，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论；（2）所有可能取值有，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）列联表补充如下：所以的观测值， 所以有的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.(2)由题意，可知在这人中，男、女生各人，其中男生有人、女生有人认为不应该下“禁奥令”，所有可能取值有 所以的分布列是所以（人）【点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆，设过定点的直线与椭圆相交于两点，若，当时，求面积的取值范围.【答案】（1）长轴的最小值为，此时椭圆的方程为；（2）.【解析】【分析】（1）根据四边形面积为2可得则长轴利用基本不等式可得最小值，时从而可得椭圆的方程；（2）设，联立得，利用韦达定理与向量共线的性质可得，由可得，求得，换元后利用单调性可得结果.【详解】（1）依题意四边形的面积为因为长轴此时故长轴的最小值为，此时椭圆的方程为（2）依题意，可设，联立得设，由，且且易知，由将，满足 设 在递减故关于递增，【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.本题在得到面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.21.已知函数（其中为常数且）（1）若函数为减函数，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围，并说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数为减函数，等价于，即对恒成立，求出的最小值即可得结果；（2）设，则原命题等价于函数有两个不同的零点，分类讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理，可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】（1） 若函数为减函数，则，即对恒成立.设 在区间上递减递增即故实数的取值范围是（2）易知函数的定义域为设，则原命题等价于函数有两个不同的零点，求实数的取值范围， 当时，函数在区间上递减上递增，若函数有两个不同的零点则必有即此时，在上有在上， 在区间上各有一个零点，故合题意；当时，函数在区间递减，函数至多一个零点，不合题意；当时，函数在区间递减、递增、递减，函数极小值为函数至多一个零点，不合题意；当时，函数在区间递减、递增、递减，函数的极小值为 ，函数至多一个零点，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，