博弈论方法在经济生活中的应用

重庆文理学院课程论文 博弈论方法在经济生活中的应用 论文作者： 指导教师： 学科专业： 提交论文日期： 年 月 日 中 国 重 庆2008 年 12 月目 录 中文摘要II 英文摘要 引言1.1 问题提出及研究意义1.2 国内外研究现状1.3 研究目的和研究内容2博弈论简介 2.1 博弈论相关概念 2.2 博弈的分类3非合作博弈模型 3.1 纯战略纳什均衡3.1.1均衡 3.1.2纯战略纳什均衡 3.1.3 囚徒困境 3.2 混合战略纳什均衡5 3.3 纳什均衡的一致预测性64纳什均衡在经济生活中的具体应用84.1居民偷水84.2治理临江河污水排放的制度设计95主要结论和后续工作展望12致谢13参考文献14博弈论方法在经济生活中的应用数学与应用数学（师范类）专业一班 罗才英 指导教师:陈晓东 摘要：博弈论是运筹学的一个重要分支，类型众多，其中，非合作博弈是现代博弈理论中的核心内容和重要基础本文在简要介绍了博弈论相关内容的基础上，重点介绍了非合作博弈中最重要、最核心的部分即纳什均衡通过对经典案例囚徒困境的分析，对纯战略纳什均衡和混合战略纳什均衡相关定义的研究，得到了在经济决策中行为人如何决定最优决策的方法在此基础上，以纳什均衡作为理论支撑点，结合得益矩阵分析解决了经济生活中的一些实际问题，例如：针对居民的偷水问题，治理污水排放的制度设计问题关键词：博弈论；均衡点；得益矩阵；纳什均衡 Application of the Game Theory in EconomicsMajor: Mathematics and Applied Mathematics(Normal) Class: 1Author: Luo Caiying Supervisor: Chen Xiaodong Abstract: Game Theory which has many types is an important branch of Operational Reserching. The Non-cooperation Game Theory is the base and core of modern Game Theories.After introducing the relevant of content Game Theory, the paper emphasizes the most important and core concepts in Non-cooperation Game Theory-Nash Equilibrium.The present study draws the conclusion on the most optimal processing model in economical decision-making from the analysis of the classical cases in Nash Equilibrium Convict difficult Position, and the studies of the relevant definitions of the Pure Strategy and the Mixed Strategy in Nash Equilibrium. Based on the above points, the present study takes the Nash Equilibrium as the supporting point and connectes it with the analysis of the Benefits Matrix to solve some actual problems in the economical decision-makingSuch as, inhabitants water-stealing and the problem of the regulation design of the to the sewage dischargesKeywords: Game Theory；Balance Point；Benefits Matrix；Nash Equilibriumt1 引言 1.1问题提出及研究意义 纳什均衡是现代博弈论中的核心内容和重要基础,许多理论研究和应用都是围绕这一基本理论展开或与此相关的随着博弈论的发展和博弈研究的不断深入，人们意识到这种理论和日常经济生活的联系越来越紧密博弈论可以揭示众多经济问题内在规律和根源，帮助人们分析经济关系，认识经济现象，评判经济效率，指导人们进行科学的经济决策，无论对企业等实际经济部门的经营活动，还是对政府的管理和政策制度制定，博弈论都有重要的指导意义要用博弈论解决现实经济中的决策问题，就必须解决博弈模型的理论抽象和架设与经济问题实际情况的差距等问题，而解决这些问题的关键在于如何运用数模的思想抽象出问题中的得益矩阵 1.2国内外研究现状 文献1中，介绍了80、90年代是博弈论走向成熟的时期在这个阶段，博弈论的理论框架给予其它学科之间的关系逐渐完整和清晰起来，博弈论在经济生活中的应用领域越来越广泛在国内，大多数学者都是借鉴西方的理论，进而结合我国的实际情况对相关的经济现象进行分析在应用方面，主要介绍了经典经济案例：库诺特寡头竞争模型，豪泰林价格竞争模型，公共地悲剧等 文献2中，阐明了博弈论的发展历程对经典案例囚徒困境的分析，引出了纳什均衡问题文献9中，纳什均衡研究的对象越来越转向个体，放弃了一些没有微观基础的假定，一切从个人效用函数及其约束条件开始，解约束条件下的个人效用最大化问题而导出行为及均衡问题，即博弈论研究的范式：给出个人的支付函数及战略空间，然后观察当每个人都选择其最优战略以最大化个人支付函数时将发生什么总的说来，国内外学者对博弈论的理论方面作了系统的阐述，为纳什均衡方法的应用打下了基础1.3研究目的和研究内容本文研究的主要内容是在纳什均衡相关理论的基础上,分析经济生活中的问题.大部分文献是对经济现象中比较经典的案例的分析,而相对于日常生活中的实际问题研究的比较少.因此,本文在博弈论的核心内容纳什均衡的基础上，介绍了纯战略纳什均衡和混合战略纳什均衡的相关理论,针对日常生活中的居民偷水、污水排放等实际问题进行了分析. 在本文中得出了居民偷水和污水排放的解决措施，同时使读者对博弈论中的纳什均衡有一定的理解和认识，对如何以纳什均衡作为理论支撑点,结合得益矩阵分析解决经济生活中类似于居民偷水、污水排放等问题进行分析有一定的了解.2博弈论简介2.1博弈论相关概念博弈论(game theory),也称对策论，它是运筹学的一个重要分支，是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题，简单说来就是一些个人或其他组织，面对一定的环境条件，在一定的规则下，同时或先后，一次或多次，从各自允许选择的行为或策略中进行选择并加以实施，各自取得相应结果的过程从上述定义中可以看出，一个完整的博弈一般由以下几个要素组成：博弈的参加者，各博弈方各自选择的全部策略或行为的集合、博弈方的得益（得益矩阵）、结果、均衡等1、参与人指的是博弈中选择行动以最大化自己效用的决策主体(可以是个人，也可以是团体)2、行动是指参与人在博弈进程中轮到自己选择时所作的某个具体决策 3、策略是指参与人选择行动的规则，即在博弈进程中，什么情况下选择什么行动的预先安排4、信息指的是参与人在博弈中所知道的关于自己以及其他参与人的行动、策略及其得益函数等知识 5、得益是参与人在博弈结束后从博弈中获得的效用，一般是所有参与人的策略或行动的函数，这是每个参与人最关心的事情6、均衡是所有参与人的最优策略或行动的组合；均衡结果是指博弈结束后博弈分析者感兴趣的一些要素的集合，如在各参与人的均衡策略作用下，各参与人最终的行动或效用集合上述要素中，参与人、行动和结果统称为博弈规则，博弈分析的目的是使用博弈规则来决定均衡2.2博弈的分类博弈的分类方法是多种多样的根据参与人的多少，可将博弈分为二人博弈和多人博弈；根据参与人是否合作，可将博弈分为合作博弈和非合作博弈；根据博弈结果的不同，又可分为零和博弈、常和博弈与变和博弈人们之间决策行为相互影响的例子很多，几乎所有我们遇到的生活中的事情都是这样比如说OPEC（石油输出国组织）成员国家选择石油产量；寡头市场上，企业选择他们的价格和产量；又如家庭中的夫妻，他们之间的行为也是一种博弈；还有国家与国家之间的关系；再有如我国的中央和地方政府之间，也存在一种博弈，也就是说，中央采取一种行动会影响地方的行动，反过来地方的行动又会使中央采取相应的政策所以博弈论的应用是非常广泛的，而其中的非合作博弈是最为常用的3非合作博弈模型 一般地,将不允许存在有约束力协议的博弈称为“非合作博弈”,与此相对，允许存在有约束力协议的博弈称为“合作博弈”完全信息静态博弈是指各博弈方同时决策，且所有博弈方对各方得益都了解的一种博弈完全信息静态博弈属于非合作博弈中最基本的类型在该博弈中，每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策事实上，具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的一个解概念“纳什均衡”本节将对这个解概念的定义、性质以及它在博弈分析中的作用等进行一定的介绍3.1纯战略纳什均衡3.1.1均衡均衡是所有参与人的最优战略的组合，一般记为其中，是第个参与人在均衡情况下的最优战略，它是的所有可能战略中使最大化的战略因为一般来说，是所有参与人的战略组合的函数，的最优战略通常依赖于其他参与人的选择为了把一个特定的参与人与其他参与人区别，这里用表示由除之外的所有参与人的战略组成的向量那么，说是给定情况下第个参与人的最优战略意味着 所谓均衡，也就意味着对所有的，上式同时成立3.1.2纯战略纳什均衡在博弈论里，有各种各样的均衡概念，上述定义是所有均衡概念的共同特征，而在一个博弈中，可能有多个均衡存在纳什均衡在非合作博弈分析中具有十分关键的作用和地位，因此将着重介绍纳什均衡的定义一般常用表示一个博弈，如有个博弈方，每个博弈方的全部可选策略的集合称为“策略空间”，分别用表示；表示博弈方的第个策略，其中可取有限个值（有限策略博弈），也可取无限个值（无限策略博弈）；博弈方的得益则用表示，是各博弈方策略的多元函数个博弈方的博弈常写成有了博弈、博弈方的策略空间和得益的表示法，现给出纳什均衡的定义如下：定义3.1在博弈中，如果由各个博弈方的每一个策略组成的某个策略组合中，任一博弈方的策略，都是对其余博弈方策略组合的最佳对策，即对任意都成立，则称为的一个“纳什均衡”（Nash Equilibrium）纳什均衡的求解，通常可以采用得益矩阵（Payoff Matrix）表示出在不同策略下各博弈方的效益，下面通过囚徒困境问题可进一步加深对纯战略纳什均衡概念的理解3.1.3囚徒困境这个博弈问题是1950年图克提出的，它虽然非常简单，但却很好地反映了非合作博弈的根本特征，而且这个博弈模型正是解释众多经济现象，研究经济效率问题的非常有效的基本模型和范式该博弈模型提出后曾引发了大量的相关研究，对博弈论的发展起了不小的推动作用故事如下：警察抓住了两个罪犯，但是警察局却缺乏足够的证据指证他们所犯的罪行如果罪犯中至少有一人供认犯罪，就能确认罪名成立为了得到所需的口供，警察将这两名罪犯分别关押，防止他们串供或结成攻守同盟，并分别跟他们讲清了他们的处境和面临的选择：如果他们两人都拒不认罪，则他们会被以较轻的妨碍公务罪各判一年徒刑；如果两人中有一人坦白认罪，则坦白者立即释放而另一人将重判10年徒刑；如果两人都坦白认罪，则他们将被各判8年监禁问：两个罪犯会如何选择（即是坦白还是抵赖）？ 下面可将整个博弈过程的结果用一矩阵形式表示出来这种矩阵称为博弈的“得益矩阵（支付矩阵）（Payoff Matrix）”表3.1 A与B的得益矩阵囚徒B囚徒A坦白不坦白坦白（8，8）（0，10）不坦白（10，0）（1，1）可见:(1)对于囚徒A来说,囚徒B有“坦白”和“不坦白”两种可能的选择如果B选择“坦白”,则对A来说, “不坦白”得益为-10, “坦白”得益为-8如果B选择“不坦白”,则A“不坦白”得益为-1, “坦白”得益为0若A只考虑自身的利益,则“坦白”为他的最优选择 (2)同样的, 对于囚徒B来说,囚徒A有“坦白”和“不坦白”两种可能的选择如果A选择“坦白”,则对B来说, “不坦白”得益为-10, “坦白”得益为-8如果A选择“不坦白”,则B“不坦白”得益为-1, “坦白”得益为0若B只考虑自身的利益,则“坦白”为他的唯一选择由于法庭对罪犯分别审讯，因而这个问题可以归结为非合作博模型其中,局中人集合,1代表囚徒A,2代表囚徒B两个人具有相同的策略集合:,其中C代表坦白,D代表抗拒的策略对于策略组合 两个局中人的支付函数如下:由支付函数可以看出，囚徒A的最佳策略是坦白，囚徒B的最佳策略也是坦白，故纳什均衡为（坦白，坦白）在囚徒困境中，每个参与人都能猜出对方的策略，则称这种纳什均衡为纯战略纳什均衡囚徒困境反映了一个很深的问题，这就是个人理性与集体理性的矛盾即使两个囚徒在被警察抓住之前建立一个攻守同盟（死不坦白），这个攻守同盟也没有用，因为它不构成纳什均衡，没有个人有积极性遵守协定通过对囚徒困境问题的分析，从中可得到一个重要的结论：一种制度安排，要发生效力，必须是一种纳什均衡，否则，这种制度安排便不能成立囚徒困境问题在经济学上也有着广泛的应用，例如：两个寡头企业选择产量的博弈如果两企业联合起来形成卡特尔，选择垄断利润最大化的产量，每个企业都可以得到更多的利润但卡特尔协定并不是一个纳什均衡，因为给定对方遵守协议的情况下，每个企业都想增加生产，结果是，每个都只能得到纳什均衡产量的利润，它严格小于卡特尔产量下的利润这个例子也说明，在有些情况下，个人理性与集体理性的冲突对整个社会来说也许是一件好事，尽管它对该集体的成员而言是一件坏事，前述囚徒的行为也如此当然，这里的前提条件是集体成员的数量严格小于全体社会成员的数量3.2混合战略纳什均衡再看这个问题:懒惰的儿子失业在家,父母有两个战略:资助或不资助；儿子也有两个战略:寻找工作或在家父母想帮助儿子,但前提是后者必须试图找工作,否则,前者不予帮助；而儿子只有在得到父母资助时才会去寻找工作这显然是一个博弈问题，下表给出了这个博弈的支付矩阵表3.2 父母与儿子的得益矩阵儿子父母找工作在家资助（4，2）（0，3）不资助（0，2）（1，1）这个博弈的显著特征是每个参与人都想猜透对方的战略,而每个参与人又都不能让对方猜透自己的战略因为给定父母资助,儿子的最优战略是在家；给定儿子在家,父母的最优战略是不资助；给定父母不资助,儿子的最优战略是寻找工作；而给定儿子寻找工作,父母的最优战略是资助这样的问题在诸如扑克比赛,橄榄球赛,战争等情况中都会出现这类博弈中,每个理性人都不能猜出对方的战略,参与人是以一定的概率选择某种战略,则称这样的战略为混合战略,均衡称为混合战略纳什均衡定义3.2在个参与人博弈的战略式表述中,假定参与人有个纯战略:,那么,概率分布称为的一个混合战略，这里是选择的概率，对于所以的使用上述定义,纯战略可以理解为混合战略的特例,比如说,纯战略等价于混合战略,即选择纯战略的概率为1,选择任何其他纯战略的概率为0在该博弈中,设想父母以的概率选择资助,的概率选择不资助那么,对儿子来说,选择寻找工作带来的期望效用为,选择在家带来的期望效用同样为,选择任何混合战略带来的期望效用都是所以儿子的任何一种战略都是对父母所选择的混合战略的最优反应3.3纳什均衡的一致预测性纳什均衡之所以有这么重要的地位，关键就在于它具有一致性这里所说的“一致预测性”是指这样一种性质：如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终会成为博弈的结果也就是说，这里“一致预测性”中的“一致”的意义是，各博弈方的实际行为选择与他们的预测一致，而不是不同博弈方的预测相同、无差异一致预测性是纳什均衡的本质属性，也是保证纳什均衡的价值，使纳什均衡有不同于其他分析概念的特殊地位的重要性质因为首先一致预测性在博弈论分析中具有十分重要的地位，其次是只有纳什均衡才具有一致预测的性质一致预测性在博弈论分析中重要的原因，主要在于一个博弈方在博弈中所作预测的内容包括他自己的选择，因此博弈方有可能会利用预测改变自己的选择，而具有一致预测性质的博弈分析概念就能避免这样的矛盾，从而是稳定的和自我强制的，相应选择也才是真正可预测的不具有一致预测性的博弈分析概念，在分析和预测博弈结果时，则难以避免预测和行为之间的矛盾，因此是不稳定的纳什均衡的一致预测性为我们研究具体应用提供了理论保证4纳什均衡在经济生活中的具体运用4.1居民偷水当前，城镇居民盗水时有发生，供水部门常采用罚款的手段处理那些被发现的盗水用户，但随着居民的文化水平的提高，盗水手段也越来越高明，因此被发现的概率越来越小那么采用通常的罚款手段对防止用户盗水的作用越来越微弱，那么利用新的经济原理、采取新的制裁措施显得尤为必要了假定用户每家都有一个测量用水量的水表，而且每家实际用水有可能没有通过此水表假定水表测量准确无误差1、设家总水表测出的实际用水量记为2、第家水表所示用水量为， 即为家盗水总和，记为不妨设每度水的单价为1元，则供水局对第家征收水费为即可防止用户盗水，理由如下：为说明方便，不防简化为两家用户甲和乙，甲和乙都有两种策略选择：偷水和不偷水，在甲和乙之间就形成了一场博弈设甲和乙的实际用水量分别为和，偷水量分别为和，则甲和乙得益矩阵如下：（其中）表4.1 甲和乙的得益矩阵甲乙偷水不偷水偷水 不偷水可见：（1）对甲来说，在不做损人而不利己的事的前提下，他会选择不偷因为甲若选择偷水，则他期望乙不要偷水，此时他的最大利益为0，既然利益为0，他选择不偷水也可以达到，又何必劳神又费事甲若选择不偷水，乙必定也会选择不偷水，因为此时乙无论偷水还是不偷水，利益都为0,在不做损人而不利己的事的前提下乙必定会选择不偷水（2）对乙来说，由于同样的道理，他会选择不偷水这一策略这样，（不偷水，不偷水）就成了一个纳什均衡点甲和乙谁改变策略都得不到好处，当然就会维持均衡点，那么这个均衡就是相当稳定的，这样供水部门也达到了防止用户偷水的目的另外，即使有人做损人而不利己的事，供水局也有办法对付，那就是对第家征收水费为,其中即可达到目的同样，以两家用户为例，此时用户所收水费,同样地可得出甲和乙的得益矩阵：表4.2甲和乙的得益矩阵甲乙偷水不偷水偷水 不偷水显然，对甲和乙来说为了使自己得益最大，都会不约而同的选择不偷水对于多个用户可以同样进行分析，最后所有的用户都会选择不偷水的策略因此供水部门只需任意选择一个大于1的，宣布对用户征收的水费就是防止用户偷水的有效措施，其中接下来再谈谈对偷水用户进行一次性罚款和对偷水量由家共同分摊做法的无效性供水局若发现偷水户则往往采取一次性罚款，对用户来说：（1）不偷水，得益为0，（2）偷水，若不被发现，得益为,（3）偷水，若被发现，得益为但是用户偷水被发现的概率往往是很小的，假设被发现的概率为，则用户偷水损益的期望值为：因此只有,即时才能使用户不偷水若偷水被发现的概率为1%,用户偷水,则罚款1000元才可能使用户不偷水因此一般性的罚款并没有达到预期目的4.2治理临江河污水排放的制度设计环保世纪行的主题之一就是限制企业的污水排放重庆永川区临江河原本是一条河水清澈、鱼儿成群、资源丰富的河流，河水流经临江镇境内25公里，遍及沿线30余个社，但却因工业污染而受到了一定的破坏镇政府负责人说：“只要上游的污染企业继续排放污水，我们就很难治理.”那么,政府应该怎样治理污水排放是本文所探讨的问题治理污水排放是合理合法的,但是,对治理污水排放的企业而言,必然在此过程中需要增加生产成本,因此作为一个以利润最大为目标的单位产生污水的企业,都在尽可能想方设法不增加生产成本,而采取直接排污的方法政府作为国家的代理人,检查、制止排污是理所当然的职责政府和企业之间的关系可以运用经济学上的监督博弈来处理这个博弈的参与人包括政府和企业,政府的战略选择是检查或不检查,企业的战略选择是排污或不排污1、假设是企业治理污水(不排污)所增加的生产成本,如果排污的话,则可以将据为所有2、是政府检查所需成本3、是政府对企业排污所收取的罚款金额4、是企业排污所造成的污染而对社会利益的损害5、假设,且,即政府对排污企业采取重罚措施下表即为一个对应不同战略组合的得益矩阵表4.3 政府和企业的得益矩阵政府企业排污不排污检查 不检查在上述假设条件下，政府和企业都不能猜出对方会采取什么样的策略，因此不存在纯战略纳什均衡，只有求解混合战略纳什均衡反之,如果假定条件不成立,通过劣战略剔除可得到占优战略,即(检查，不排污)或（不检查，排污）为占优均衡在得益矩阵中，用代表检查排污的概率，代表企业排污的概率给定，政府检查和不检查的期望分别为：由，得即如果企业排污概率小于，政府的最优选择是不检查；如果企业排污的概率大于，政府的最优选择是检查；如果企业排污的概率等于，政府随机地选择检查或不检查政府的最终目标是降低企业的排污概率，达到环境保护的目的这样不仅可以降低污水对环境的污染，而且还可以降低政府行政费用支出根据的结果，可以采取两种举措：一方面，增大分母，即采取重罚措施，致使企业平日不敢轻易铤而走险另一方面，减小分子，即降低检查成本，现阶段一个比较行之有效的办法就是设立举报电话，这样可避免政府盲目出击检查，做到有的放矢另外，给定政府检查的概率，企业选择排污和不排污的期望收益分别为：由得，即如果政府的检查概率小于，企业的最优选择将是检查，企业以的概率选择排污换言之可理解为，在现实经济中有许多企业和企业排污所取得的罚款金额有关，对排污的惩罚越重，企业因排污所获得的生产成本越少，企业的排污概率就越小反过来，企业因排污所获得的生产成本越多，企业的排污概率就越大实际上，企业因排污所获得的生产成本大小，政府是难以精确把握的以上所讨论的企业都是以利润最大化为目的的企业，这适用于民营企业的情况但临江河的现实情况是，排污屡教不改者，大多数是以乡镇企业为代表的集体所有制企业和部分小型国有企业（大型国有企业正因为其大，反而不敢轻易排污，因为它被检查的概率是非常大的）这里就牵涉到一个企业经营的控制权收益问题以本文的乡镇企业为例（其他企业同理），企业排污所获得的生产成本部分可以很容易地转化为企业经营者的控制权收益，这个收益不仅仅是奖金和福利，还可能包括因为企业效益上升而带来的升迁机会，以及购买奢侈享受物品而得到的个人效用反过来，如果企业因为排污而受罚，其经营者并没有受到控制权损失，因为罚款由企业出，只是没有控制权收益罢了控制权收益另一个可能的（或许更为合理的）解释是企业经营者因批准排污所获得的风险收益根据以上分析，政府在治理企业排污的时候，应设法考虑收益权的收益问题由于国民待遇的要求，不可能因企业性质不同而采取不同的罚款数量所以解决这个问题只能采用行政手段（因为对企业法人的法律制裁也是同样的），换言之，对于那些集体和国有企业排放污水，一经发现，应该对企业经营者进行行政处分，这样可更好地达到治污目的同时也要注意地方政府在治理污水中的角色首先，地方政府的行为要受制于中央政府既定的制度，具体地说就是需要全面贯彻中央的法律、法规，从而规范地方政府的行为其次，地方政府亦可亲自组织创新或担当起制度创新的重任最后，地方政府是制度的推行维护者，对违法排污者实施重罚5主要结论和后续工作展望本文以以纳什均衡为理论基础，研究了纯战略纳什均衡和混合战略纳什均衡在经济生活中的应用.对于偷水问题,不仅分析了对偷水用户进行一次性罚款和对偷水量由用户共同分摊做法的无效性,而且在理论上提出了相应的解决措施: 1、设家总水表测出的实际用水量记为，第家水表所示用水量为， 即为家盗水总和，记为；设每度水的单价为1元，则供水局对第家征收水费为即可防止用户盗水.2、对第家征收水费为,其中对于永川临江河污水排放的问题,也相应地在理论上提出了以下解决措施：1、设立举报电话，避免政府盲目出击检查,