河北省武邑中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文（含解析）

河北武邑中学2020学年下学期高三第一次模拟考试数学（文史）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D.2.设（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可详解：复数 故选A. 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：第一次循环：,第二次循环：，第三次循环：,第四次循环：,第五次循环：,第六次循环：,第七次循环：,第八次循环：,此时，结束循环，输出，选A.考点：循环结构流程图4.已知直线、与平面、，下列命题正确的是（ ）A. ，且，则B. ，且，则C. ，且，则D. ，且，则【答案】B【解析】【分析】根据线面平行与垂直关系逐一判断选择.【详解】A.，且，则位置关系不定；B.若 ，则的法向量相互垂直，而，则的方向向量分别为的一个法向量，所以；C.当时，且，才可推出；D.，且，则位置关系不定；综上选B.【点睛】本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析推证能力，属中档题.5.已知等差数列的前项为，且，则( )A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】A【解析】分析：是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.详解：设公差为，故选A.点睛：等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如是等差数列，则是等比数列，如是等比数列且均为正，则是等差数列.6.设函数，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为B. 图形关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数的最小正周期为，则函数的周期为：，取可得函数的一个周期为；函数图象的对称轴满足：，则：，令可得函数的一条对称轴为；函数的零点满足：，则：，令可得函数的一个零点为；若，则，则函数在上不具有单调性；本题选择D选项.7.若，则的值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由知，即，当时，所以，从而，当时，所以，因此选C. 8.中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项, 为公比的等比数列,又,解得,则,故选B.9.如图所示，在斜三棱柱中， ，则点在底面上的射影必在( )A. 直线上B. 直线上C. 直线上D. 内部【答案】A【解析】ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上故选项为：C10.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C.考点：线性规划求最值，三角函数图像变换【名师点睛】1.对yAsin(x)进行图象变换时应注意以下两点：(1)平移变换时，x变为xa(a0)，变换后的函数解析式为yAsin(xa)；(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为yAsin(x)2.两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的11.直线与圆心为，半径为圆相交于，两点，另一直线与圆交于，两点，则四边形面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD为圆的直径时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可【详解】解：以为圆心，半径为的圆的方程为，联立，解得，中点为而直线：恒过定点，要使四边形面积最大,只需直线过圆心即可,即CD为直径,此时AB垂直CD,四边形ACBD的面积最大值为故选：A【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12.函数是定义在上的单调函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性、单调性得有4个根，可转为有2个不等正根，利用二次函数图像的性质即可得a的范围.【详解】解：函数恰有4个零点，令，由函数为奇函数可得，由函数是定义在R上的单调函数得，则有4个根，只需有2个不等正根，即，解得：，即a取值范围是，故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查二次函数图像性质的应用，属中档题.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为_【答案】【解析】 因为，所以，所以，即，且，则， 所以曲线在点处的切线的倾斜角的余弦值为.14.设，若，则_【答案】【解析】为奇函数，故答案为：15.若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为_【答案】【解析】当时，由椭圆定义知，解得，不符合题意，当时，由椭圆定义知，解得，所以，故填. 点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中的取值，从而确定c,计算椭圆的离心率.16.已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是_【答案】【解析】函数在上有最大值，但没有最小值，所以.点睛：本题要考虑到在区间上有最大值，没有最小值，说明函数要包括正弦函数图形的山峰但不能包括其山谷，要明确题目意思是解题关键三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，为其前和，若.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若数列中，求数列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式与通项公式列方程组，解得公差与首项，再代入得结果，（2）根据裂项相消法求和，即得结果.【详解】（1）由题意可知，又得：（2），【点睛】本题考查等差数列求和公式与通项公式以及裂项相消法求和，考查分析求解能力，属中档题.18.为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有的“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；（）记甲组阅读量的方差为. 若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得到的甲组阅读量的方差为，试比较，的大小.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）【答案】（） 或. （） （） 【解析】【分析】（）分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值（）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M甲组“阅读达人”有2人，在此分别记为A1，A2；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为B1，B2，B3从所有的“阅读达人”里任取2人，利用列举法能求出从所有的阅读达人里任取2人，至少有1人来自甲组的概率（）由茎叶图直接得【详解】（）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为.由题意，得，即. 故图中a的取值为或.（）记事件“从所有的“阅读达人”里任取2人，至少有1人来自甲组”为M. 由图可知，甲组“阅读达人”有2人，在此分别记，；乙组“阅读达人”有3人，在此分别记为，.则从所有的“阅读达人”里任取2人，所有可能结果有10种， 即，.而事件M的结果有7种，它们是， 所以. 即从所有的阅读达人里任取2人，至少有1人来自甲组的概率为. （）由茎叶图直接观察可得.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.()求证：；()若，求三棱锥的体积.【答案】()证明见解析；()8.【解析】【分析】() 取的中点为，根据等腰三角形性质得 ，再根据平行四边形性质得，即得 ，最后根据面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理得结果，()先根据()得平面，再根据三棱锥体积公式得结果.【详解】（I）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而. ， ，四边形为平行四边形， . ，为的中点， ， .平面平面，且交线为，平面， 平面，而平面， . ()连结.由是正三角形，且为中点得， .由()知，平面，.【点睛】本题考查三棱锥体积、面面垂直性质定理以及线面垂直性质定理，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.如图，已知椭圆 的离心率为，且过点（I）求椭圆的标准方程；（II）设点，是椭圆上异于顶点的任意两点，直线，的斜率分别为，且求的值；设点关于轴的对称点为，试求直线的斜率【答案】（I）；（II）8；或【解析】【分析】() 根据条件列方程组解得， ，即得结果，() 先根据直线方程与椭圆方程解得，同理可得，再根据化简求值，先用A,B坐标表示直线的斜率，再根据得，利用结论以及椭圆方程解得，最后代入得结果.【详解】（1）由题意，所以，即，所以椭圆的方程为，又因为椭圆过点，所以，即，所以所求椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，化简得，解得，因为，故，同理可得 ，所以 由题意，点关于轴的对称点为的坐标为，又点是椭圆上异于顶点的任意两点，所以，故 ，即设直线的斜率为，则，因为，即，故，所以 ，所以直线的斜率为为常数，即或【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21.已知函数，其中.（）讨论的单调性；（）当时，证明:；（）求证:对任意正整数，都有 (其中为自然对数的底数).【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（）先求，再对 进行讨论即可.（）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.（）由（）知,累加作和即得证.【详解】（）易得，函数 ， 当时，所以在上单调递增 当时，令，解得 当时，所以， 所以在上单调递减； 当时，所以，所以在上单调递增 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（）当 时，.要证明，即证，即. 即. 设则 令得，.当时，当时，.所以为极大值点，也为最大值点 所以.即.故. （）由（）知，.令， 则 ， 所以,即所以.【点睛】本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想及不等式的证明，考查数学分析法的运用，综合性强，属于中档题22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为为参数).（I）直线与圆相切，求的值；（II）若直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】() 先将直线参数方程化为普通方程，将圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到切线距离等于半径解得结果，() 先将抛物线参数方程化为普通方程，再联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式以及韦达定理求结果.【详解】（I）圆的直角坐标方程为，直线的一般方程为， ， ；（II）曲线的一般方程为，代入得， ， .【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆位置关系以及弦长公式，考查坐标分析求解能力，属基础题.23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案