湖北省武汉市部分学校2020届高三数学上学期起点质量监测试题 文（含解析）VIP

湖北省武汉市部分学校2020届高三数学上学期起点质量监测试题 文（含解析）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则（ ）A. 0B. 1C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算法则化简复数，利用模长定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合，根据交集的定义得到结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（）A. 4B. 5C. 8D. 10【答案】D【解析】【分析】通过离心率和的值可以求出，进而 可以求出焦距。【详解】有已知可得，又，焦距，故选：D。【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题。4.已知，是两个不重合的平面，直线，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质，可以得到不能推出，可以推出。【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以不能推出。两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以可以推出，所以是的必要不充分条件，故选：B。【点睛】本题考查面面平行的判定定理以及面面平行的性质，是一道基础题。5.已知函数为偶函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据偶函数的定义可构造方程求得，从而得到函数解析式；将代入解析式即可求得结果.【详解】为偶函数 ，即 本题正确选项：【点睛】本题考查根据奇偶性求解函数解析式和函数值的问题；关键是能够根据奇偶性的定义得到对应项相等的关系，从而得到参数值.6.已知曲线，则下面结论正确的是（）A. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线B. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线C. 把曲线向左平移个长度单位得到曲线D. 把曲线向右平移个长度单位得到曲线【答案】D【解析】【分析】将通过合一公式化为向右平移就可以得到。【详解】，把曲线向右平移个长度单位得即为，故选：D。【点睛】本题考查函数的平移变换，是一道基础题。7.已知函数.若有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与有两个交点；利用导数研究的单调性可最值，从而得到的图象，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】有两个零点等价于与有两个交点时，；时，即在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，可得图象如下图所示：若与有两个交点，则即当时，有两个零点本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为曲线与平行于轴的直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.8.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，且，两两互相垂直，则球的体积为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】三棱锥的外接球，正好是以，这三条棱构成的正方体的外接球，直径，即可求出球的体积。【详解】，故选：C。【点睛】本题通过，两两互相垂直，可以构造以，为相邻的3条棱的正方体，构造一个正方体，该正方体的外接球和三棱锥的外接球一样，就方便求球的半径了。9.已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数运算将化为同底对数形式，根据真数大小关系即可比较出结果.【详解】，且在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查根据对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够将数字化为同底对数的形式，根据真数的大小关系得到结果.10.设抛物线:的焦点为F，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知；利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设，直线方程为：将直线方程代入抛物线方程得：，则由抛物线焦半径公式可得：本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.11.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数.给出下列结论:；，其中正确的结论个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据古典概型可计算得到、；由独立事件的积事件概率公式可计算得到；根据互斥事件不可能同时发生，可知，从而得到结果.【详解】由古典概型知：，则正确 ，则正确事件与事件为互斥事件 ，则错误本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型概率求解、独立事件概率公式应用、互斥事件的概率等知识，属于基础题.12.已知函数，且，当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】最小时，最小正周期最大，可知，进而求得；代入，根据的范围可求得，从而得到解析式；令，解出的范围即为所求单调递减区间.【详解】当取最小值时，最小正周期最大 ，解得：又 ，又 令，解得：，即的单调递减区间为：，本题正确选项：【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、求解正弦型函数的单调区间的问题；解决此类问题的关键是能够通过图象整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解，属于常考题型.二、填空题.13.若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为_.【答案】1【解析】【分析】利用导数几何意义可用表示出切线斜率，利用平行时斜率相等构造方程求得结果.【详解】由题意得： 在处切线斜率切线与平行 ，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查根据切线斜率求解参数的问题，主要是对导数几何意义的考查，属于基础题.14.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】根据递推公式依次计算各项，可知数列是以为周期的周期数列；根据周期数列特点可求得结果.【详解】由递推公式知：；以此类推，可知数列是以为周期的周期数列 本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列递推公式研究数列的性质、求解数列中某一项的问题，关键是能够通过递推公式得到数列为周期数列的结论.15.武汉是一座美丽的城市，这里湖泊众多，一年四季风景如画，尤其到了夏季到东湖景区赏景的游客络绎不绝.如图是东湖景区中个半径为100米的圆形湖泊，为了方便游客观赏，决定在湖中搭建一个“工”字形栈道，其中，分别为、的中点，则栈道最长为_米.【答案】【解析】【分析】设圆心为，易知为中点，设，可得栈道长度；利用三角换元的方式可得到，根据正弦函数值域可求得所求最值.【详解】设圆心为，由球的对称性及可知，为中点设，则栈道长度令则，其中，当时，即栈道最长为米本题正确结果：【点睛】本题考查实际问题中的最值问题的求解，关键是能够建立起合适的函数模型，通过三角换元的方式，利用正弦函数最值来求得结果.16.已知平面向量，满足，则最小值为_.【答案】【解析】【分析】设，利用数量积的坐标表示可得，根据模长运算可构造出；利用可构造不等式求得的最小值；根据数量积的坐标运算可知，代入的最小值即可得到结果.【详解】，不妨设， ， 即： ，即 本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的最值的求解问题，主要考查了向量的坐标运算；关键是能够通过数量积和模长的坐标运算得到的最值.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，利用和表示出和，构造出方程组后解得和，根据等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）得到，采用裂项相消的方法求得.【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列 ，解得：（2）由（1）知：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够根据数列的通项公式，将其进行准确的裂项，属于常考题型.18.在2020、2020每高考数学全国卷中，第22题考查坐标系和参数方程，第23题考查不等式选讲.2020年髙考结束后，某校经统计发现:选择第22题的考生较多并且得分率也较高.为研究2020年选做题得分情况，该校高三质量检测的命题完全采用2020年高考选做题模式，在测试结束后，该校数学教师对全校高三学生的选做题得分进行抽样统计，得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只选做道题):第22题的得分统计表得分035810理科人数505075125200文科人数2525125025第23题的得分统计表得分035810理科人数30525860200文科人数51010570(1)完成如下22列联表，并判断能否有99%的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；选做22题选做23题总计理科人数文科人数总计(2)若以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，如果你是考生，根据上面统计数据，你会选做哪道题，并说明理由.附:0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1) 列联表见解析；有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；(2) 选做第题，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知数据可填好列联表，计算出观测值，从而可知有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关；（2）分别计算全体学生两道题的平均得分，选做平均得分较大的题.【详解】（1）由数据表可得列联表如下：选做题选做题总计理科人数文科人数总计则的观测值有的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关.(2)全体高三学生第题的平均得分分别为:； 以全体高三学生选题的平均得分作为决策依据，应选做第题.【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题、利用平均数估计总体的数据特征等知识；考查学生的计算和求解能力，属于较易题.19.设的内角，的对边分别为，已知，且.（1）求；（2）若的面积，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用正弦定理以及两角和与差的三角函数转化求解。通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可。【详解】解：（1）因为，由正弦定理知.又，所以，即.，.（2）由，及余弦定理，得.因为，所以.由解得或的周长.【点睛】（1）利用正弦定理进行边化角，对于式子中同时出现与，我们将变为，并用两角和与差的三角公式展开计算即可。（2）面积公式中有，余弦定理里面也有，两者可联立进行计算。本题是一道中等难度的题目。20.如图，四棱锥的底面为平行四边形，.(1)求证:；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）取中点，根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定定理可证得平面，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据平行四边形对称性可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用体积桥可构造方程求得所求的距离.【详解】（1）取中点，连接， ，又，平面 平面平面 （2） 又， 又 ，平面 平面由平行四边形对称性可知，点到平面的距离等于点到平面的距离设点到平面的距离为 点到平面的距离为：【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、点到平面距离的求解；解决立体几何中点到平面距离的主要方法是通过构造出三棱锥的方式，利用体积桥将问题转化为三棱锥高的求解问题.21.设为坐标原点，动点在椭圆:上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足.(1)求点的轨迹方程；(2)设，在x轴上是否存在一定点，使总成立？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) ； (2) 存在点满足条件.【解析】【分析】（1）设，则，利用可得，代入椭圆方程即可整理得到结果；（2）假设存在点满足条件，设，利用两点间距离公式表示出，整理可得点轨迹，此轨迹需与（1）结论相同，从而构造出方程解出，即可得到结果.【详解】（1）设，则在椭圆上 由知：，即：，代入得：即点的轨迹方程为：（2）假设存在点满足条件，设由得：即：此方程与(1)中表示同一方程，故：，解得：存在点满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.22.已知函数.当时，证明:在上有唯一零点；(2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】【分析】（1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用