清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷

清华附中2020学年度高三数学理科第二次月考试卷(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答卷上1等于 ( A )ABC1 D02已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的 ( B )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知a 0，b B a C a D a 4已知m，n是不重合的直线，a，b是不重合的平面，给出下列四个命题： 若m a，m b，则a /b 若m a，n b，m / n，则a /b 若m / n，m a，则n a 若m a，m b，则a b其中正确命题的个数是 ( C )A1个 B2个 C3个 D4个5函数y = cos(2x-)的一条对称轴的方程是 ( B ) Ax = - Bx = Cx = - Dx = p6已知、是非零向量且满足条件：，则与的夹角是 ( B )A B C D7将函数的图象沿x轴向左平移a个单位(a 0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为 ( D )A B C D8在(n N*)的展开式中 ( D )A一定没有常数项B当且仅当n = 5时，展开式中有常数项C当且仅当n = 4k (k N*)时，展开式中有常数项D当且仅当n = 7k (k N*)时，展开式中有常数项二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答卷相应题号的横线上9不等式 0的解集为_ x | x 110设函数f(x) = (a 0，a 1)满足f(9) = 2，则f -1 ()等于_BMFEDBACC11已知长方体一个顶点上的三条棱的长分别是3，4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积为125p，则x =_10_(球的表面积公式S = 4pR2，其中R表示球的半径)12正方形ABCD的边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图所示)，M是矩形AEFD内一点，如果MBE = MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为 13设函数f(x)是定义域为R的函数，且f(x + 2)1 - f(x) = 1 + f(x)，又f(2) = 2 +，则f(2020) =_ 提示：可推得f(x + 4) = -，f(x + 8) = f(x)，从而f(2020) = f(6) = -=14定义运算符号：“P”，这个符号表示若干个数相乘如：可将1 2 3 n记作，(n N*)已知Tn =，(n N*)，其中ai为数列an(n N*)中的第i项 若an = 2n - 1，则T5 = _. 945 若Tn = n2 (n N*)，则an =_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本小题满分13分) 在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c设a、b、c满足条件b2 + c2 - bc = a2和，求A和tanB的值解法一：由余弦定理，3分因此，A = 60，5分在ABC中，C = 180 - A - B = 120 - B6分由已知条件，应用正弦定理，11分解得cotB = 2，从而13分解法二：由余弦定理，3分因此，A = 60，5分由b2 + c2 - bc = a2，得，所以 8分由正弦定理10分由式知a b，故B 0，k = 2 14分18(本小题满分14分)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1，D是AC的中点，C1DC = 60() 求证：AB1平面BC1D；() 求二面角DBC1C的大小解法一：() 连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO在AB1C中，O、D均为所在边的中点，AB1DO3分AB1 平面BC1D，DO 平面BC1D，AB1平面BC1D6分() 设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1 C1DC = 60，CC1 =作DEBC于E平面BCC1平面ABC，DE平面BCC1B1，作EFBC1于F，连结DF，则 DFBC1，DFE是二面角D - BC1 - C的平面角10分在RtDEC中，DE =，在RtBFE中，EF = BEsinC1BC =，在RtDEF中，tanDFE =，二面角D - BC1 - C的大小为arctan14分解法二：以AC的中点D为原点建立空间直角坐标系如图，设| AD | = 1，C1DC = 60，| CC1| =则A(1，0，0)，B(0，0)，C(- 1，0，0)，A1(1，0，)，B1(0，)，C1(- 1，0，)，() 连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则O ，=，AB1与DO不重合，AB1DO又AB1 平面BC1D，DO 平面BC1D，AB1平面BC1D8分()= (- 1，0，)，= (1，-)，设平面BC1D的法向量为= (x，y，z)，则，即，则有y = 0，令z = 1，则= (，0，1)10分设平面BCC1B1的法向量为= (x，y，z)，则，即， z = 0，令y = -1，解得= (，-1，0)，二面角D - BC1 -C的余弦值为cos，= ，二面角D - BC1- C的大小为arc cos14分19(本小题满分14分)设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n，有() 写出数列an的前三项；() 求数列an的通项公式，并写出推证过程；() 令，数列bn的前n 项和为Tn，试比较Tn与的大小解：() 由题意，当n = 1时，有a1 =- 2，S1 = a1，a1 =- 2，解得a1 = 2，当n = 2时，有=-2 ，S2 = +，将a1 = 2代入，整理得(a2 - 2)2 = 16，由a2 0，解得a2 = 6，当n = 3时，有a3 =-2 ，S1 = a1 + a2 + a3，将a1 = 2，a2 = 6代入，整理得(a3 - 2)2 = 64，由a3 0，解得a3 = 10，所以该数列的前三项分别为2，6，104分() 由an =- 2 (nN*)， 整理，得Sn =(an + 2)2， 则Sn + 1 =(an + 1 + 2)2， an + 1 = Sn + 1 - Sn =(an + 1 + 2)2 - (an + 2)2，整理，得(an + 1 + an)( an + 1 - an - 4) = 0， 由题意知an + 1 + an 0，an + 1 - an = 4，即数列an为等差数列，其中首项a1 = 2，公差d = 4， 9分an = a1 + (n 1)d = 2 + 4(n 1)，即an的通项公式为an = 4n 2，nN*10分() bn =，Tn = b1 + b2 + + bn = 0