第14章 结构的稳定计算

第14章结构的稳定计算,第章结构的稳定计算,两类稳定问题概述两类稳定问题计算简例有限自由度体系的稳定静力法和能量法无限自由度体系的稳定静力法无限自由度体系的稳定能量法,目录,14-1两类稳定问题概述,一概念,稳定平衡状态,结构原来处于某个平衡状态,由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构能够回到原来位置。,不稳定平衡状态,结构原来处于某个平衡状态,由于受到轻微干扰而偏离其原来位置，当干扰消失后，结构不能够回到原来位置。,中性平衡状态,结构由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。,失稳,随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态,这时原始平衡状态丧失其稳定性简称为失稳。基本形式有两种：分支点失稳极值点失稳,压杆的完善体系(理想体系）,杆件轴线是理想的直线(没有初曲率），荷载是理想的中心受压荷载(没有偏心),压杆的非完善体系,具有初曲率或承受偏心荷载的压杆,完善体系,B点:分支点OB段:稳定平衡BC段:不稳定平衡,二两类失稳,分支点失稳：,B点:极值点OB段:稳定平衡BC段:不稳定平衡,2极值点失稳：,发生跳跃现象:AB段为稳定平衡，BCD为不稳定平衡若无控制机构，实际曲线为ABFG段，B点机构发生跳跃,3扁拱式结构失稳：,14-2两类稳定问题计算简例,稳定自由度确定体系变形状态所需要的独立几何参数的数目,一单自由度完善体系的分支点失稳,大挠度理论：,图（b）列平衡方程：,解为:,2小挠度理论：,二单自由度非完善体系的极值点失稳,大挠度理论：,图（b）列平衡方程：,解为:,2小挠度理论：,结构的失稳存在两种基本形式。一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。分支点失稳形式的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点处出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其优点，特别上分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。,三.几点认识,14-有限自由度体系的稳定静力法和能量法,确定临界荷载的基本方法：静力法根据临界状态的静力特征而提出的方法能量法根据临界状态的能量特征而提出的方法,一静力法,在分支点失稳中，临界状态的静力特征是平衡形式的二重性。静力法的要点是在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者交叉的分支点，由此求出临界荷载。,图（a）为原始平衡形式，图（b）为新的平衡形式。,根据小挠度理论，图（b）的平衡方程为：,解为:,特征方程、稳定方程,临界荷载：,非零解：,二能量法,分支点失稳中,临界状态的能量特征是势能为驻值且位移有非零解.,把荷载FP看作重量,体系的势能EP为弹簧应变能U与荷载势能UP之和。,临界荷载：,讨论体系势能的变化,若则关系曲线如图（a）所示，当（0）时，势能恒为正值，即势能是正定的。当体系处于原始平衡状态（=0）时，势能为最小。因而原始平衡状态是稳定平衡状态。若则关系曲线如图（c）所示，当（0）时，势能恒为负值，即势能是负定的。当体系处于原始平衡状态（=0）时，势能为最大。因而原始平衡状态是不稳定平衡状态。若则关系曲线如图（b）所示，势能恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态，这时的荷载称为临界荷载。因此，临界状态的能量特征也可表述为：在荷载达到临界荷载的前后，势能由正定过渡到非正定。对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。,【例14.1】,图示是具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚性杆，试用两种方法求临界荷载,解：,体系由原始平衡状态（a）转到任意变形状态（b），支座反力为：,变形状态的平衡条件为：,若系数行列式不等于0，则零解是齐次方程（a）的唯一解，原始平衡形式是体系唯一的平衡形式若系数行列式等于0，齐次方程（a）有非零解，除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式。平衡形式具有二重性，这就是体系处于临界状态的静力特征。所以稳定问题的特征方程（稳定方程）为：,D点的水平位移为：,弹性支座的应变能为：,荷载势能为：,体系的势能为：,应用势能驻值条件：,得:,稳定问题的特征方程（稳定方程）为：,讨论势能的正定性,如果，则势能是正定的如果，则势能是半正定的如果，则势能是不定的如果，是半负定的如果，则势能是负定的,14-4无限自由度体系的稳定静力法,解题思路：对变形状态建立平衡微分方程根据平衡形式的二重性建立特征方程由特征方程求出临界荷载,在临界状态下，体系出现新的平衡，弹性曲线的微分方程为：,令上式改写为：,上式的解为：,由边界条件确定A、B及FR：,y(x)不能恒为0，所以,【例14.2】,求图示排架的临界荷载和柱AB的计算长度,解：,CD对的支撑表现为:,图(c)弹性曲线的微分方程为：,上式的解为：,令上式改写为：,由边界条件确定A、B及FR：,y(x)不能恒为0，所以,又所以,求图示阶形柱的特征方程,解：,弹性曲线的微分方程为：,【例14.3】,令上式改写为：,由边界条件确定A1、B1及A2、B2,由系数行列式等于零，得特征方程,14-5无限自由度体系的稳定能量法,解题思路：对变形状态求出势能EP由势能的驻值条件，可得包含待定参数的齐次方程组为求非零解,齐次方程的系数行列式应为零,由此求出特征荷载值临界荷载是所有特征值的最小值,设压杆有任意可能位移，变形曲线为：,其中是满足位移边界条件的已知函数，是任意参数。,弯曲变形能U：,荷载势能UP：,体系势能EP：,势能驻值条件,令,式（14-8）的矩阵形式为：,简写为：,向量a不能恒为0向量，得稳定问题的特征方程（稳定方程）,【例14.4】,解：,图示为两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。,位移边界条件为：,求得:,由势能驻值条件得:,为求非零解，系数为零得:,求得:,由势能驻值条件得:,为求非零解，系数为零得:,求得:,由势能驻值条件得:,为求非零解，系数为零得:,假设挠曲线为抛物线时求得的临界荷载与精确解相比误差为20%根据跨中横向集中力作用下的挠曲线而求得的临界荷载与精确解相比误差为1.3%，若采用均布荷载作用下的挠曲线进行计算，则精