重庆市普通高等学校2020届高三数学预测卷（4）理（含解析）

2020年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）在复平面内，z1z2对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合A=y|y=，B=x|y=ln（x+1），则AB=（）A（1，1）B（1，1C（，）D（，3已知在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，nR），则=（）A3BCD34圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）Ax2+（y1）2=4Bx2+（y2）2=4Cx2+（y3）2=4Dx2+（y4）2=45某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）Am=90，n=56Bm=30，n=56Cm=90，n=792Dm=30，n=7926已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD27若O为ABC的内心，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A等腰三角形B正三角形C直角三角形D以上都不对8执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC1D09如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a等于（）AB1CD110在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）ABCD11设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A2B2或CD12函数f（x）是周期为4的偶函数，当x时，f（x）=x1，则不等式xf（x）0在上的解集为（）A（1，3）B（1，1）C（1，0）（1，3）D（1，0）（0，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知sin+cos=，（0，），则的值是 14命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面和相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面内，又在平面内，则这两平面重合其中正确命题的序号是 15已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m0）的最大值为1，则m的值是 16已知函数f（x）=x3x2+2x+1，且f（x）在区间（2，1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围 三、解答题17已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项（1）求证：an=2an1+1（n2）；（2）求证：数列an+1为等比数列；（3）求数列an的前n项和Sn18某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望19如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点（1）求证：ABDE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值20设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a0），与的夹角为，若，求实数a的取值范围21已知函数（x）=，a为常数（1）若f（x）=lnx+（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2，x1x2，都有1，求a的取值范围四、选修4-4：坐标系与参数方程22直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值五、选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+a|+|x2|（1）当a=3时，求不等式 f（x）3的解集；（2）若f（x）|x4|的解集包含，求实数a的取值范围2020年重庆市普通高等学校高考数学预测卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知复数z1=1+3i，z2=3+i（i为虚数单位）在复平面内，z1z2对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A6：复数代数形式的加减运算【分析】利用复数运算法则和几何意义即可得出【解答】解：z1=1+3i，z2=3+i，z1z2=2+2i，z1z2在复平面内对应的点（2，2）在第二象限故选：B2已知集合A=y|y=，B=x|y=ln（x+1），则AB=（）A（1，1）B（1，1C（，）D（，【考点】1E：交集及其运算【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出AB即可【解答】解：1+x22x，1，（x0）又函数y=是定义域R上的奇函数，1，11；集合A=y|y=y|1y1=，B=x|y=ln（x+1）=x|x+10=x|x1=（1，+），AB=（1，1故选：B3已知在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=3，若=m+n（m，nR），则=（）A3BCD3【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n【解答】解：，如图过E作DEAB，交BC于EADBC，AD=2，BC=3，EC=1，由=m+n=可得，故选：A4圆心在y轴上，半径为2，且过点（2，4）的圆的方程为（）Ax2+（y1）2=4Bx2+（y2）2=4Cx2+（y3）2=4Dx2+（y4）2=4【考点】J1：圆的标准方程【分析】设圆心的坐标为（0，b），根据题意，则有（02）2+（b4）2=4，解可得b的值，将b的值代入圆的方程即可得答案【解答】解：根据题意，设圆心的坐标为（0，b），则有（02）2+（b4）2=4，解可得b=4，则圆的方程为x2+（y4）2=4；故选：D5某市有6条南北向街道，4条东西向街道，图中共有m个矩形，从A点走到B点最短路线的走法有n种，则m，n的值分别为（）Am=90，n=56Bm=30，n=56Cm=90，n=792Dm=30，n=792【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，对于第一空：在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，由组合数公式计算即可得答案，对于第二空：分析可得从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，由组合数公式计算即可得答案【解答】解：根据题意，有6条南北向街道，4条东西向街道，在南北街道中任取2条，东西向街道任取2条，即可组成1个矩形，则图中共有C62C42=90个矩形，则m=90；从A点走到B点最短路线需要项右走5次，向上走3次，共8次，在这8次中任选3次向上，其余向右即可，则最短路线有C83=56种，即n=56，故选：A6已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD2【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD侧面PAB利用体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD侧面PAB该几何体的体积V=故选；B7若O为ABC的内心，且满足（）（+2）=0，则ABC的形状为（）A等腰三角形B正三角形C直角三角形D以上都不对【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状【解答】解：（）（+2）=0，（）=0，即（）（）=0，（）=0，（）（）=0，=0，ABC为等腰三角形故选A8执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）ABC1D0【考点】EF：程序框图【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件i8，跳出循环，计算输出S的值【解答】解：输入i=1，s=0，a1=tan=，s=，i=18，i=2，a2=tan=，s=0，i=28，i=3，a3=tan=0，s=0，i=38，i=4，a4=tan=，s=，i=48，i=5，a5=tan=，s=0，i=58，i=6，a6=tan=tan2=0，s=0，i=68，i=7，a7=tan=tan=，s=，i=78，i=8，a8=tan=tan=，s=0，i=88，i=9，a9=tan=0，s=0，i=98，输出s=0，故选：D9如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a等于（）AB1CD1【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案【解答】解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值将代入可得：sin+acos=解得a=1故选D10在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】由题意可得：如图，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，即可得出结论、【解答】解：如图所示，BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长=弦中点在内切圆内，由几何概型概率公式得P（A）=，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是故选C11设双曲线的半焦距为C，直线L过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为（）A2B2或CD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率【解答】解：直线l的方程为，c2=a2+b2原点到直线l的距离为，16a2b2=3c4，16a2（c2a2）=3c4，16a2c216a4=3c4，3e416e2+16=0，解得或e=20ba，（e=2舍去）故选D12函数f（x）是周期为4的偶函数，当x时，f（x）=x1，则不等式xf（x）0在上的解集为（）A（1，3）B（1，1）C（1，0）（1，3）D（1，0）（0，1）【考点】3Q：函数的周期性【分析】根据函数的周期性和奇偶性，求出当x上的解析式，结合图象将不等式转化为或，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若x，则x，当x时，f（x）=x1，f（x）=x1，f（x）是偶函数，f（x）=x1=f（x），即当x时，f（x）=x1，即在一个周期内，f（x）=，若x，则x4，即f（x）=f（x4）=（x4）1=x+3，x，作出函数f（x）在上的图象如图：则当x时，不等式xf（x）0等价为或，即1x3或1x0，即（1，0）（1，3），故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知sin+cos=，（0，），则的值是【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】根据同角三角函数关系式求解出sin，cos的值，带入计算即可【解答】解：由sin+cos=，sin2+cos2=1解得：或，（0，），则=故答案为：14命题：（1）三角形、梯形一定是平面图形；（2）若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；（3）三条平行线最多可确定三个平面；（4）平面和相交，它们只有有限个公共点；（5）若A，B，C，D四个点既在平面内，又在平面内，则这两平面重合其中正确命题的序号是（1），（2），（3）【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形；（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，可判断该四边形是平面图形；（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个；（4），平面和相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线；（5），若A，B，C，D四个点既在平面内，又在平面内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交【解答】解：对于（1），根据不共线三点、两条平行线确定一个平面，可以判断三角形、梯形一定是平面图形，故正确；对于（2），若四边形的两条对角线相交于一点，则两条对角线可以确定一个平面，由公理可知四边形的四边在该平面内，则该四边形是平面图形，故正确；对于（3），三条平行线最多可确定三个平面，其中任意两条确定一个，故正确；对于（4），平面和相交，它们只有无限个公共点，构成它们的交线，故错；对于（5），若A，B，C，D四个点既在平面内，又在平面内，则该四点可能在其交线上，则这两平面重合或相交，故错故答案为：（1）（2）（3）15已知x，y满足约束条件，若目标函数z=mx+y（m0）的最大值为1，则m的值是1【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，利用图形得出目标函数z=mx+y的最优解，列方程求出m的值【解答】解：由约束条件，作出可行域如图所示，联立，解得A（1，2）；化目标函数z=mx+y（m0）为y=mx+z，由图可知，当直线y=mx+z过A（1，2）点时，直线在y轴上的截距最大，此时z最大值为2m=1，解得m=1故答案为：116已知函数f（x）=x3x2+2x+1，且f（x）在区间（2，1）内存在单调递减区间，则实数a的取值范围（，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的导数，问题转化为a（x+）max=2，根据不等式的性质求出a的范围即可【解答】解：f（x）=x2ax+2，由题意得x（2，1），使得不等式f（x）=x2ax+20成立，即x（2，1）时，a（x+）max，令g（x）=x+，x（2，1），则g（x）=1=，令g（x）0，解得：2x，令g（x）0，解得：x1，故g（x）在（2，）递增，在（，1）递减，故g（x）max=g（）=2，故满足条件a的范围是（，2），故答案为：（，2）三、解答题17已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项（1）求证：an=2an1+1（n2）；（2）求证：数列an+1为等比数列；（3）求数列an的前n项和Sn【考点】8F：等差数列的性质；89：等比数列的前n项和；8D：等比关系的确定【分析】（1）利用an是n与Sn的等差中项，以及an=snsn1，推出an=2an1+1（n2）即可；（2）利用（1）直接推出数列an+1为等比数列；（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列an的前n项和Sn【解答】（1）证明：an是n与Sn的等差中项，2an=n+Sn于是2an1=n1+Sn1（n2）得2an2an1=1+anan=2an1+1（n2）（2）证明：当n2时，由an=2an1+1得 an+1=2（an1+1）当n=1时，2a1=1+S1即 2a1=1+a1a1=1，a1+1=2所以an+1是以2为首项，2为公比的等比数列（3）解：an+1=22n1=2nan=2n118某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图【分析】（1）计算抽取的12人中成绩是“优良”的频率，用频率估计概率，再用对立事件的概率公式计算所求的概率值；（2）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率是=，依题意知，从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为；设事件A表示“在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是优良”，则P（A）=1=1=，即至少有1人成绩是“优良”的概率为；（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3；则P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=；则的分布列为 0123P数学期望为E（）=0+1+2+3=19如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点（1）求证：ABDE；（2）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OE，则ABOE，ABOD，故而AB平面ODE，于是ABDE；（2）以O为原点建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结OD，OE，ABE是等边三角形，ABOE，CDOB，CD=AB=OB，BCAB，四边形OBCD是正方形，ABOD，又OD平面ODE，OE平面ODE，ODOE=O，AB平面ODE，又DE平面ODE，ABDE（2）解：平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，OD平面ABCD，OD平面ABE，以O为原点，以OA，OE，OD为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（1，0，0），D（0，0，1），E（0，0），C（1，0，1），=（1，0，1），=（1，0），=（0，0，1），=（1，0），设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1得=（，1，），同理可得平面CE的法向量为=（，1，0），cos=平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为20设点F（0，），动圆P经过点F且和直线y=相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）过点F（0，）的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N（0，a）（a0），与的夹角为，若，求实数a的取值范围【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题【分析】（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与抛物线方程联立化为：x22kx1=0，=（x1，y1a），=（x2，y2a）根据与的夹角为，可得=x1x2+（y1a）（y2a）0把根与系数的关系代入化简即可得出【解答】解：（1）由题意可得：动圆的圆心P的轨迹曲线E为抛物线：x2=2y（2）设直线l的方程为：y=kx+，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：x22kx1=0，x1+x2=2k，x1x2=1=（x1，y1a），=（x2，y2a）与的夹角为，=x1x2+（y1a）（y2a）=x1x2+=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+0（1+k2）+k（2k）+0a0化为：k2，a2a0，a0，解得：实数a的取值范围是21已知函数（x）=，a为常数（1）若f（x）=lnx+（x），且a=，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2，x1x2，都有1，求a的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对f（x）求导，利用f（x）0判断函数单调增，f（x）0函数单调减，求出单调区间；（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=lnx+（x）=lnx+，（x0）；f（x）=，当a=时，令f（x）0，即x2x+10，解得x2，或x，函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+），单调减区间为（，2）；（2）1，+10，即0；设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2上是减函数；当1x2时，h（x）=lnx+x，h（x）=+1；令h（x）0，解得a+（x+1）2=x2+3x+3