常见不等式的几何直观

常见不等式的几何直观数学与统计学院 2008级 1212408087 陈小丽研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。那么，当点A 在点B 的左边时，ab（图1）。图1不等式的基础性质也可以通过作图来表示：用线段AB的长表示a，线段BA表示-a；线段CD表示b，线段DC表示-b。如：（1）如果 ab，bc，那么ac。画图2表示：绝对值|a|表示数a到原点的距离。即若a0, |a|=a；若a0,那么a+b2ab ，当且仅当a=b时等号成立。其几何意义是直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。如图9：图10CD是RtABC中斜边AB上的高，OC是斜边AB上的中线，AD=a,BD=b。OC=a+b2 ，CD=ab。推论：在所有周长相同的矩形中，正方形面积最大； 在所有面积相同的矩形中，正方形周长最短。推广1 3个正数的算术-几何平均不等式：a+b+c33abc 当且仅当a=b=c时等号成立。推广2 n个正数的算术-几何平均不等式:a1+a2+an nna1a2an 当且仅当a1=a2=an非常自然地出现在光学和电网研究中的平均值是调和平均值21a+1b=2aba+b .统计学有一个重要的均方根a2+b22。有这样的不等式关系：a2+b22 a+b2ab2aba+b，其几何解释如图10：图11-1如图10-1所示：设ABCD为一梯形，其中AB=a，CD=b，设O为其对角线的中点。（a） a与b的算术中项a+b2 由平行于两底且与它们等距离的线段GH表示；（b） 几何中项ab 由平行于两底且使梯形ABLK与KLDC成相似形的线段KL表示；（c） 调和中项2aba+b 由平行于两底且过O点的线段EF表示；（d） 均方根a2+b22 由平行于两底且将梯形ABCD分成面积相等的两个梯形的线段MN表示。如图11-2所示：O为圆心 ，MHMGMOb），则MO=a+b2 ，MG=ab ，MH=2aba+b ，MR=a2+b22Cauchy不等式：（a） 二维形式：（a12+a22b12+b22(a1b1+a2b2)2）当且仅当aibi=(i=1，2) 时等号成立。其几何意义如图11： 图12Cos=|=a1b1+a2b2a12+a22 b12+b22 又由（Cos）21即得（a12+a22b12+b22(a1b1+a2b2)2）。其中等号成立的条件是（Cos）2=1 ，即=0或。也就是说， 平行。坐标（a1,b1），（a2,b2）成比例。即aibi=(i=1，2)时等号成立。推广1 3维柯西不等式a12+a22+a32b12+b22+b32(a1b1+a2b2+a3b3)2 当且仅当aibi=(i=1，2，3) 时等号成立。推广2 n维柯西不等式a12+a22+an2b12+b22+bn2a1b1+a2b2+anbn2当且仅当aibi=(i=1，2，3，)时等号成立。赫德尔不等式ai，bi 0，(a1p+a2p+anp)1pb1q+b2q+bnq1qa1b1+a2b2+anbn，1p+1q=1 当p=2，q=2时即是柯西不等式。三角不等式：（二维形式） x12+y12+x22+y22(x1+x2)2+(y1+y2)2 当且仅当x1=kx2；y1=ky2。其几何解释如图13图13一维形式：x12+x22(x1+x2)2 ，即|x1|+|x2|x1+x2|，当且仅当x1=kx2，这时三角形退化成一条直线。推广 x12+x22+xn2 +y12+y22+yn2x12+y12+(xn2+yn2) 此式对一切实数xi，yi 都成立，当且仅当xi=kyi 时等号成立。闵可夫斯基不等式任意非负数x1，y1，x2，y2及任意的p1，有（x1p+y1p）1p+(x2p+y2p)1px1+x2p+(y1+y2)p1p 三角不等式是这里p=2特