高三数学新课：函数的单调性与极值（文）人教版知识精讲

高三高三数学数学新课：函数的单调性与极值新课：函数的单调性与极值（文）人教版（文）人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高三新课：函数的单调性与极值 二. 知识讲解： 1. 函数的单调性 一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么)(xfy 0 y 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么为这个区间)(xfy 0 y )(xfy 内的减函数。 2. 极值 一般地，设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有)(xfy 0 xx )( 0 xf 0 x 各点的函数值都大，就称是函数的一个极大值；如果的值比附)( 0 xf)(xfy )( 0 xf 0 x 近所有各点的函数值都小，就称是函数的一个极小值。)( 0 xf)(xfy 如果函数在某个区间有导数，就采用以下方法求它的极值：)(xfy （1）求导数；)(x f （2）求方程的根；0)( x f （3）检查在方程=0 的根的左右符号，如果在根的左侧附近为正，右侧)(x f )(x f 附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在根的)(xfy 右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值。要注意在求函数的极值时，除)(xfy 了=0 的条件外，还要考虑在附近两侧的正负情况。)( 0 x f )(x f 0 x 【典型例题典型例题】 例 1 已知函数在处有极小值，试确定的值，并求bxaxxxf23)( 23 1x1ba, 出的单调区间。)(xf 分析：分析：此题是 2001 年文史类考试题，主要考查函数和函数极值概念，考查运用导数研 究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力。 解：解：由已知，可得 1231) 1 (baf 又 则 baxxxf263)( 2 0263) 1 (baf 由、可得 2 1 3 1 b a 故函数的解析式为xxxxf 23 )( 由此得123)( 2 xxxf 根据二次函数的性质，当或时，；当时， 3 1 x1x0)( x f1 3 1 x 0)( x f 因此，在区间和上，函数为增函数；在区间内，函数) 3 1 ,(), 1 ( )(xf) 1 , 3 1 ( 为减函数。)(xf 例 2 设函数在处取得极值，试用表示和，并求cbxaxxxf 23 )(1x2cab 的单调区间。)(xf 分析：分析：此题为 2020 年高考湖北文科试题，主要考查导数的概念和计算，考查应用导数 研究函数性质的方法和运算能力。 解题思路：解题思路：由导数公式和已知条件利用待定系数法求出，然后由的符号cba,)(x f 判断单调区间，最后单调区间要分开写不能用并集符号。 解：解：由已知，有，2) 1 (f0) 1 ( f 而baxxxf23)( 2 故 023 21 ba cba 解得 32cb ca 从而) 1)(323()32(23)( 2 xcxccxxxf 令，得或0)( x f1x 3 32 c x 由于在处取极值，故，即)(xf1x1 3 32 c 3c （1）若即，则当时，；当1 3 32 c 3c) 3 32 ,( c x0)( x f 时，；当时，) 1 , 3 32 ( c x0)( x f), 1 ( x0)( x f （2）若，即同上可得的单调递增区间为（） ， （1 3 32 c 3c)(xf1 , ，） ；单调递减区间为（1，） 3 32 c 3 32 c 例 3 已知函数 a xaxxf 3 13)( 23 （1）讨论函数的单调性；)(xf （2）若曲线上两点 A、B 处的切线都与轴垂直，且线段 AB 与轴有公)(xfy yx 共点，求实数的取值范围。a 分析：分析：此题为 2020 年高考湖南省文科试题，主题考查利用导数方法研究函数的单调性， 同时考查学生分类讨论的思想。 解：解： （1）由题设知，0a) 2 (363)( 2 a xaxxaxxf 令，则0)( x f a xx 2 , 0 21 当时，0a 若，则，所以在区间（）上是增函数) 0 , (x0)( x f)(xf 0 , 若，则，所以在区间上是减函数；) 2 , 0( a x0)( x f)(xf) 2 , 0( a 若，则，所以在区间上是增函数), 2 ( a x0)( x f), 2 ( a 当时，0a 若，则，所以在区间（）上是减函数) 2 ,( a x0)( x f)(xf a 2 , 若，则，所以在区间上是增函数；) 0 , 2 ( a x0)( x f)(xf) 0 , 2 ( a 若，则，所以在区间上是减函数), 0( x0)( x f)(xf), 0( （2）由（1）的讨论及题设知，曲线上的两点 A、B 的纵坐标均为函数的极)(xfy 值，且函数在，处分别取得极值，)(xfy 0x a x 2 a f 3 1)0( 1 34 ) 2 ( 2 aaa f 因为线段 AB 与轴有公共点，所以，即x0) 2 ()0( a ff0) 3 1)(1 34 ( 2 aaa 所以0 )4)(3)(1( 3 a aaa 故且0)4)(3)(1(aaaa0a 解得或01a43 a 即所求实数的取值范围是a4 , 3)0 , 1 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 设为的极值点，则（ ） 0 x)(xf A. B. 不存在0)( 0 x f)( 0 x f C. =0 或不存在D. 存在但可能不为 0)( 0 x f )( 0 x f 2. 下列命题正确的是（ ） A. 极大值比极小值大 B. 极小值不一定比极大值小 C. 极大值比极小值小 D. 极小值不大于极大值 3. 一元三次函数当时有极大值 4，当时有极小值为 0 且函数过原点，)(xf1x3x 则此函数是（ ） A. B. xxxy96 23 xxxy96 23 C. D. xxxy96 23 xxxy96 23 二. 填空题： 4. 函数的极大值为正数，极小值为负数，则