高三数学一轮复习学案 §2.9.三个二次问题函数（通用）

一轮复习学案 2.9. 三个二次问题函数 学习目标：1理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的区别及联系； 2掌握函数、方程及不等式的思想和方法基础热身：(1).二次函数()的部分对应值如下表： 则不等式的解集是 (2).已知函数，若，, 则( ) 与的大小不能确定(3).设二次函数，方程的两根和满足（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小并说明理由知识梳理：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系： 不妨设,. 10 函数的图像 ; 1. 20 方程 ; 30 不等式的解集为 (或者是 ). 10 函数的图像 ; 2. 20 方程 ; 30 不等式的解集为 (或者是 ). 10 函数的图像 ; 3. 20 方程 : ; 30 不等式的解集为 (或者是 ). 案例分析：例1. 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围例2. 设二次函数，已知不论，为何实数，恒有 (1)求证：(2)求证：(3)若函数的最大值为8，求b，c的值例3. 设f(x)是定义在-1，1上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称， 而当 (1)求f(x)的表达式; (2)对于任意例4. 对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点， 已知函数， （1）当时，求函数的不动点； （2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点， 且两点关于直线对称，求的最小值例5.设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b (1)求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点； (2)设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；一轮复习练习 2.9.“三个二次”问题 姓名 1. 函数是单调函数的充要条件是（） A B C D2 设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则(x-1)2+(y-1)2的最小值是（ ） (A)-1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值3 函数f(x)=2x2-mx+3, 当x(-,-1时是减函数, 当x-1,+)时是增函数, 则f(2)= 4 方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是 ； 有一正根，一负根的充要条件是 _ _ ；至少有一根为零的充要条件 _ 5 如果方程x2+2x+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小， 则实数的取值范围是 6 设方程x2-mx+1=0的两个根为,b, 且01,1b2, 则实数m的取值范围是 _ _ 7 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交，则k的取值范围是 8 已知关于x的不等式x2+bx+c0的解集是 9 方程x2+(m-2)x+2m-1=0在(0,1)内有一根，则m ;或m=6-2) 在(0,1)内至少有一根，则m 10 线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2x+2+1与线段AB有两个 不 同交点，试求实数的取值范围11 已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围12 已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x对任意实数x都成立，试求f(1-)的值13 根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系： 销售量g(t)与时间t满足关系g(t)= -t/3 +43/3 (0t40),tN),求这种商品日销售量的最大值14 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一点c使f(c)0, 求实数p的取值范围15 已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点， 求的取值范围参考答案:基础热身：(1) ; (3) A;(3) 本题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式解法，考查推理和运算能力解法1：（）令，则由题意可得故所求实数的取值范围是（II），令 当时，单调增加，当时， ，即 解法2：（I）同解法1（II），由（I）知， 又于是 ， 即，故 解法3：（I）方程，由韦达定理得 ，于是 故所求实数的取值范围是（II）依题意可设，则由，得 ，故例1.解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为 则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时， 则或，得或函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为 例2.解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令 从而知 （2）由 即，. 又因为 （3） 当 由 解得 点评注意：且, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例3.解：（1）设P（x,y）是f(x) 图象上的任意点，则P(x,y)关于直线x=1的对称点为Q (2-x ,y) 必在g(x)图像上，且22-x3即x-1，0 x-1，0 f(x)是定义在-1，1上的奇函数，f(0)=0, c= 当 （2）当时， 例4.解：（1），是的不动点， 则，得或， 函数的不动点为和（2）函数恒有两个相异的不动点， 恒有两个不等的实根， 对恒成立， ，得的取值范围为（3）由得，由题知， 设中点为，则的横坐标为， ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为例5.证明（1）：f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0 f(1)=a+b+c=0 又abc3aa+b+c3c a0,c0 由 =(ba)24a(cb)(b+a)24ac0故y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点； 解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故 x1+x2=,x1x2=, 由题意， A1B1=x1x2= = = abc,a+b+c=0a(a+c)c 2 A1B1的取值范围是（，2）一轮复习练习 1. 解：函数的对称轴， 函数是单调函数 故选A2 C 3 194 b2-4c0,b0，c0，c=05 a-16 2m5/27 -k-18 (-3,2) (用韦达定理可得b=a,c= -6a,a0,代入不等式即可）9 1/2m2/3， m(1/2,6-2 有一根，分为四种情况讨论： (i)f(0)f(1)01/2m2/3;(ii)=0,0(2-m)/21m=6-2; (iii) f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件; (iv) f(1)=0,m=2/3, 另一根为1/3符合题意 有两根，则m (2/3,6-2) 另法：可以观察二次函数y=x2-2x-1与y= -m(x+2)的图象得到结果10 a9/411 (1)m=2时，交点为(-1/4,0),m2时， (i)一正一负，(m-2)(2m-6)0, 2m3, (ii)两负，1m2, (iii)一根为零，一根为负，无解，综合得1m312 若m=0，满足要求；若m0,原点两侧各一个根，x1x2=/1m0, m0,x1x20,解得 0m1, 综合可得：m(-,113 当0t0,f或(1)0,即2p2-p-10,或2p2+3p-90, -1/2p1或-3p3/2, -303/2 解2：(补集法)令f(-1)0,且f(1)0,解得:p-3或p3/2,符合条件的p(-3,3/2) 观察图象而得到15. 解1:函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意， 所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或 或或或a1.