高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 知识精讲

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e1时为抛物线，当0e1时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，。 说明： 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y10）则，代入得点在上，在上或，故所求抛物线方程为或。 例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点。解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为 由，消去得 设，则 轴，且在准线上 点坐标为 于是直线的方程为 要证明经过原点，只需证明，即证 注意到知上式成立，故直线经过原点。 证法二：同上得。又轴，且在准线上，点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。 证法三：如图， 设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足 则，连结交于点，则 又根据抛物线的几何性质， 因此点是的中点，即与原点重合，直线经过原点。 评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。【考点突破】【考点指要】 抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是分。 考查通常分为四个层次： 层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用； 层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。 解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。【典型例题分析】 例3. （2020江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 答案： 解析：解法一：设点坐标为，则 ， 解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。 解法二：由题意设，则， 即，求得，点的坐标为。 评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 例4. （2020安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A. 2B. 2C. 4. 4 答案：D 解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。 评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。【达标测试】一. 选择题： 1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（ ） A. 4B. 4或4C. 2D. 2或2 3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹是（ ） A. 抛物线B. 双曲线 C. 直线D. 以上都不对 6. 已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（） A. 5B. 4C. D. 7. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（ ） A. B. 4C. D. 5 8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的值是（ ） A. 12B. 12C. 3D. 3二. 填空题： 9. 已知圆和抛物线的准线相切，则的值是。 10. 已知分别是抛物线上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程为。 11. 过点（0，1）的直线与交于两点，若的中点的横坐标为，则。 12. 已知直线与抛物线交于两点，那么线段的中点坐标是。三. 解答题： 13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，求抛物线的方程。 14. 过点（4，1）作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线方程。 15. 设点F（1，0），M点在轴上，点在轴上，且。 当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程； 设是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于E（3，0）时，求点的坐标。【综合测试】一. 选择题： 1. （2020上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条D. 不存在 2. （2020江苏）抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 0 3. （2020辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为，若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点与原点的距离是（ ） A. B. C. D. 21 4. （2020全国）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. （2020全国）设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. （2020山东）动点是抛物线上的点，为原点，当时取得最小值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. （2020北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. （2020北京）设抛物线的准线为，直线与该抛物线相交于两点，则点及点到准线的距离之和为（ ） A. 8B. 7C. 10D. 12二. 填空题： 9. （2020全国）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值是。 10. （2020北京）过抛物线的焦点且垂直于轴的弦为，以为直径的圆为，则圆与抛物线准线的位置关系是，圆的面积是。 11. （2020辽宁）已知抛物线的一条弦，所在直线与轴交点坐标为（0，2），则。 12. （2020黄冈）已知抛物线的焦点在直线上，现将抛物线沿向量进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线移到点处，则平移后所得抛物线被轴截得的弦长。三. 解答题： 13. （2020山东）已知抛物线C：的焦点为，直线过定点且与抛物线交于两点。 若以弦为直径的圆恒过原点，求的值； 在的条件下，若，求动点的轨迹方程。 14. （2020四川） 如图，是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，的最小值为8。 求抛物线方程； 若为坐标原点，问是否存在点，使过点的动直线与抛物线交于两点，且，若存在，求动点的坐标；若不存在，请说明理由。 15. （2020河南）已知抛物线，为顶点，为焦点，动直线与抛物线交于两点。若总存在一个实数，使得。 求； 求满足的点的轨迹方程。【达标测试答案】一. 选择题： 1. 答案：A 解析：，准线，。 2. 答案：B 解析：由题意可得，焦点，准线，抛物线的定义，则，又在抛物线上，故有。 3. 答案：D 解析：由于标准方程的抛物线焦点在坐标轴上，因此焦点坐标为（0，3）或（4，0），抛物线方程为或。 4. 答案：C 解析：抛物线的焦点为，由于圆与抛物线的准线及轴都相切，由抛物线定义，知圆心即为直线与抛物线的交点，可得圆的方程为。 5. 答案：A 解析：由题意可知，到的距离与到的距离相等 的轨迹是抛物线。 6. 答案：C 解析：根据抛物线定义，求的最小值，即求抛物线焦点到已知直线的距离。而。 7. 答案：C 解析：如图所示 ， 而，。 8. 答案：D 解析：设方程为， 将方程代入得， 。又。二. 填空题： 9. 答案：2或14 解析：圆的圆心为，半径为，抛物线的准线方程为，或。 10. 答案： 解析：由题意可知，两点关于轴对称，设， 且， ，解得，的直线方程为。 11. 答案： 解析：设弦中点的横坐标为，则（其中为直线的斜率），则方程为，与联立可得，（为方程的两根，即两点的横坐标），由弦长公式可得 。 12. 答案： 解析：由得，代入并整理得，设，中点为，根据韦达定理得，再代入得中点坐标为。三. 解答题： 13. 解析：设抛物线方程为，则准线为，在抛物线上，。而点到焦点的距离等于点到准线的距离， 将代入，得，解之，或， 所求抛物线的方程为或。 14. 解析： 解法一：设以为中点的弦端点坐标为，则有 将（4）代入（1）（2），得， ， 所求弦所在直线方程为，即。 解法二：设弦所在直线方程为，由 消去，得。 此方程的两根就是线段端点两点的纵坐标 由韦达定理和中点坐标公式，得，解得， 所求弦所在直线方程为。 解法三：设所求弦的两端点为，则， 的中点为（4，1）， 弦所在直线的方程为。 15. 解析：，故为的中点。又，在轴上，为（1，0），故在轴的负方向上，设，则， ，又故， 即，是轨迹的方程。 抛物线的准线方程是， 由抛物线定义知成等差数列， ，又故，的中垂线为的中点在其中垂线上即，由，点坐标为或。【综合测试答案】一. 选择题： 1. 答案：B 解析：由定义，这样的直线有且仅有两条。 2. 答案：B 解析：设且方程化为，则必有， 。 3. 答案：B解析：由题意可求得双曲线方程为，与联立得两曲线的一个交点为 4. 答案：D 解析：由已知即，。 5. 答案：C 解析：准线，设，由得，当时，即交点为；当时，或，综上，的取值范围是。 6. 答案：C 解析：。令， 则，令 得或或。 因定义域为，故所求最小值为两个极小值中较小的一个 ，故的最小值即的最小值为 7. 答案：B 解析：在轴截面中设球的半径为，则圆的方程为，与联立，只有一组零解的的范围即为所求 ， 只有一组零解，则。 8. 答案：A 解析：由得，准线，则到准线的距离之和为。二. 填空题： 9. 答案： 解析：由定义可知，点到轴的距离等于点到的距离，即点到点与到轴的距离之和等于，又，即三点共线时最小，即最小值为 10. 答案：相切； 解析：，圆，故相切，。 11. 答案： 解析：不妨设弦是经过焦点的弦，其方程为，与联立得，。 12. 答案： 解析：由，得，平移后抛物线的焦点为，又在上，由此可求得平移公式为，代入原方程得平移后的抛物线方程是，令，得，。三. 解答题： 13. 解析：当直线的斜率存在时，直线的方程为，代入得设，由题意，则 ，则。 由题知，则，即， 此时抛物线的方程为。当不存在时，直线的方程为，代入得，此时以为直径的圆的方程为，仍过原点。 设， 。又 。 当时