高三数学求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，不易让学生掌握，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。1、 一角一次一函数形式在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化到或者这种形式才可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。例1：求的最值。解： 当即 时，当即时，变式1：再加上是，结果如何？ 在化到y时，.变式2: 求函数，的最值. 解：， 当时，；当时，.变式3：，求的最大值与最小值.解：（先观察角之间的关系，最好能转化为同角，然后看同角是三角函数的次数，在化为同一个函数名）当时， 当时，在这个解题过程中，运用到了转化思想，化归到我们已经学习过的三角函数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式, 的转化，把它转化到“一角一次一函数形式”，此时对于同一个角度是同次的。所以说把化成的形式是解决问题普遍方法2、 一角二次一函数形式当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？ 例2 求函数的最值. 分析：先观察这个解析式可知，对于同一个角而言，不是同次时转化不到“一角一次一函数形式”时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到二次函数去。 解： 变式1：求的最值. 解： 当即时， 当即时，.此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到与是有关联的，由此可设 ，由此化归到了一元二次函数，比上面的思维应该简单一点。所以以后见到与同时出现时，借助它们之间的联系用换元法。利用一些三角公式进行变量替换，是求三角最值的一种常用技巧。 对同一个角，有一次，两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形式”。3、 利用有界性（，） 三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例题来展示：例3 求函数的值域.分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但与我们以前所学的求的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是反表示解决这一题目。 解：， 因为 ,所以. 由此可得，函数的值域为. 解二：， （用变量分离的方法更简便）变式1：求函数的值域.解：由题意得，所以 ， 所以函数的值域为.解二：（此题还可以与几何图形相联系） 由题意得XQOP2P1Y 设点，则可以看成是单位圆上的动点P与点Q 连线的斜率，有图象可得， 这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想。 这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把新的问题化归或转化到已经学过的知识中去。这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合，注重数学思想方法的教学，而学生们一旦掌握了一种新的数学思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。在这个求三角函数最值基本的过程中，让学生深刻的了解其中的数学思想方法，掌握“通性通法”，也就掌握了学习数学的“万能”钥匙。数学思想方法