高三数学（文）函数y=f(x)对称性与周期性关系人教版知识精讲

高三数学（文）高三数学（文）函数函数 y=f(x)y=f(x)对称性与周期性关系对称性与周期性关系人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数对称性与周期性关系)(xfy 【典型例题典型例题】 1. 定义在 R 上的函数，若总有成立，则函数的图象是)(xf)()(xafxaf)(xf 关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，ax )(xfax 则必有)()(xafxaf 推论，对于定义在 R 上的函数，若有，则图象关于直线)()(xbfxaf)(xf 成轴对称图形，反之亦真。 2 ba x 证明：证明：若对，总有，设点，在的图Rx)()(xafxaf)(,( 00 xfx)(xfy 象上，点关于的对称点，由)(,( 00 xfxax )(,2( 00 xfxa )()( 00 xaafxf ，则点在函数的图象上，由的)2()( 00 xafxaaf)(,2( 00 xfxa )(xfy 0 x 任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。)(xfax 推论，由显然) 2 () 2 ()()( 2 t ba ft ba fxbfxaf tx ba 例 1 已知，满足且，当时，cbxxxf 2 )()1()1(xfxf3)0(f0x 比较与的大小。)( x bf)( x cf 解：解：由知关于对称，故，又由知)1()1(xfxf)(xf1x2b3)0(f ，则在递减，在上递增。3c)(xf 1,(), 1 当时， 即0x123 xx )2()3( xx ff)()( xx cfbf 当时， ，即0x1230 xx )2()3( xx ff)()( xx cfbf 例 2 函数的图象关于直线对称，且时，则当)(xfy 1x), 0( x x xf 1 )( 时，的解析式为 。)2,(x)(xf 解：解：依条件，设，则)2()()1()1(xfxfxfxf)2,(x ，) 0 , (2x), 0(2 x 故 2 1 2 1 )2()( xx xfxf 例 3 若的图象关于直线对称，则 。xaxxf2cos2sin)( 8 xa A. B. C. D. 2211 解：解：由) 8 () 8 (xfxf 得) 8 (2sin) 8 (2cos) 8 (2sinxxax ) 8 (2cosxa )2 4 cos()2 4 sin(xax ) 8 (2sin) 8 (2cos )2 4 sin()2 4 cos( xax xax 即) 8 (2sin) 8 (2cos) 8 (2cos) 8 (2sin xaxxax ) 8 (2sin) 8 (2cos) 8 (2sin) 8 (2cos xxxxa 1a 例 4 设对任意，满足且方程恰有 6 个不同的)(xfRx)3()3(xfxf0)(xf 实根，则此六个实根之和为 。 A. 18B. 12C. 9D. 0 解：解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，)(xf3x3x 且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以632 435261 xxxxxx ，选 A。1863 621 xxx 例 5 设满足（1）， （2）当时，是增函数，定义域)(xf)2()(xfxf1x)(xf ，则下列不等式成立的是（ ）Rx A. )1arccos() 3 1 (log)0( 3 fff B. )1arccos()0() 3 1 (log 3 fff C. )0()1arccos() 3 1 (log 3 fff D. ) 3 1 (log)0()1arccos( 3 fff 解：解：由条件知图象关于直线成轴对称)(xf1x ，)2()0(ff)4()2() 3 1 (log 3 fff 又及时递增)()1arccos(ff1x)(xf ，故选 C)2()()4(fff 2. 对称性与周期性的关系 （1）若函数在 R 上的图象关于两条直线与对称，则)(xfy ax bx )(ab 为 R 上的周期函数。)(xf （2）若函数在 R 上的图象关于直线与点对称，则)(xfy ax ),(cb)(ab 为 R 上的周期函数。)(xf 证：证：（1）因图象关于及对称，则，)(xfy ax bx )2()(xafxf ，故得证)2()(xbfxf)22()2(2)2()(xabfxabfxafxf （2）由图象关于对称，有 )(xfy ax )2()(xafxf 又由图象关于点对称，有，)(xfy ),(cbb xx 2 xbxc yy 2 2 ，即)2(xbfy)2(2xbfyc)2()(2xbfxfc 以代有 xa 2xcxabfxaf2)22()2( 由和 )22(2)2()(xabfcxafxf 以代有xab 22x)44(2)22(xabfcxabf 又由式 得证)(4)(xabfxf 特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数ax )0(a 推论，定义在 R 上的函数满足)(xf)()(xafxaf)0(a （1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。)(xf)(xfa2 （2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。)(xf)(xfa4 证：证：（1）)()()()()2(xfxfxaafxaafaxf （2）)3()4(axafaxf)3(axaf)2(axf )()()2(axafaxafaxf)()(xfxf 例 1 已知定义在实数集 R 上的函数满足：（1）；（2）)(xf)()(xfxf ；（3）当时，求时，的解)()4(xfxf2 , 0x1)( 2 xxf4, 6x)(xf 析式。 解：解：由（1） （2）知，对任)()4(xfxf4, 6x 则，0 , 24x2 , 0)4( x 1)4()4()4()( 2 xxfxfxf 例 2 已知定义在实数集 R 上的函数满足：（1）；（2）)(xf)()(xfxf ；（3）当时解析式，求上的解析式。)2()2(xfxf2 , 0x12 xy0 , 4x 解：解：设2 , 044 , 2xx )4()2(2)2(2)(xfxfxfxf 721)4(2xx 当时，则2, 4x4 , 2 x72)(xxf 当时，则0 , 2x2 , 0 x12)(xxf 又为偶函数，知)(xf)()(xfxf 从而 0 , 2, 12 2, 4 , 7 2 )( xx xx xf 另法：当时，0 , 2x2 , 0 x121)(2)()(xxxfxf 当时，2, 4x2 , 04x1)4(2)4()(xxfxf72 x 例 3 函数定义在 R 上，且对一切满足，)(xfRx)2()2(xfxf ，设，问方程在区间中至少有几个)7()7(xfxf0)0(f0)(xf1000,1000 实根。 解：解：依条件为函数的周期，均为的根，10)27(2)(xf4x10x0)(xf 因此在区间上至少有二个根10, 0( 1000,10001000,990(980,990(990,1000 由周期性可知也为的根1000x0)(xf 所以方程在区间中至少有0)(xf1000,10004011 1 10 1000990 2 例 4 若偶函数，满足（1）图象关于直线对称， （2）在区间)(xfRxax )0(a 上是减函数，求证以为最小正周期。, 0a)(xfa2 证：证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期 2，a2)(xf)(xfa2b 且ab220)2()2()(axfbxfxf 令，则bx2)22()0()2(baffbf （1）若，则与在上是减函数矛盾aba220)22()0(baff)(xf, 0a （2）若，即时，与在baa220ab 20)2()2()0(bfbff)(xf 上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。, 0aa2)(xf 例 5 已知是定义在实数集 R 上的偶函数，是 R 上的奇函数，又知（1）)(xf)(xg （是常数） ；（2）试求的值。af)3(a) 1()(xfxg)1999(f 分析：分析：条件（2）即，即关于点对称)1()1(xfxf)(xf)0 , 1( 又由是偶函数，故是以为周期的周期函数)(xf)(xf4 解：解：由条件（2）知，令，则)1()1(xfxftx 1 )2()(tftf ，故，即为以 4 为周期的周期函数，又由)2( tf)()2()4(tftftf)(xf ，所以344991999afff)3()34499()1999( 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：50 分钟） 一. 选择题（每小题 5 分，共 50 分） 1. 函数的定义域为 A，函数的定义域为 B， 43 1 )( 2 xx xf|2)(axxg 若，则实数的取值范围是（ ） BAa A. B. 12a12a C. D. 21 a21 a 2. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ )56(log 2 5 . 0 xxy) 1,(mmm ） A. B. C. D. 5 , 34 , 24 , 1 2 , 1 3. 已知，且，则满足（ ）Ryx, xyyx 3232yx, A. B. C. D. 0 yx0 yx0 yx0 yx 4. 定义在 R 上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：)(xf0ba （1）0)()(afaf （2）0)()(bfbf （3）)()()()(bfafbfaf （4）)()()()(bfafbfaf 其中正确的不等式序号是（ ） A. （1） （2） （4）B. （1） （4） C. （2） （4）D. （1） （3） 5. 偶函数在上单调递减，则与的大小关|log)(bxxf a ), 0( )2( bf) 1( af 系为（ ） A. B. ) 1()2(afbf) 1()2(afbf C. D. 不能确定) 1()2(afbf 6. 已知定义域为 R 的函数满足有，且，)(xfRba ,)()()(bfafbaf0)(xf 若，则（ ） 2 1 ) 1 (f )2(f A. 2B. 4C. D. 2 1 4 1 7. 已知定义在 R 上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式)(xf), 0 0) 3 1 (f 的解集为（ ）0)(log 8 1 xf A. B. C. D. ) 2 1 , 0(), 2( ), 2() 2 1 , 0(), 2() 1 , 2 1 ( 8. 已知函数是 R 上的偶函数，且满足，当时，)(xf1)() 1(xfxf2 , 1 x ，则（ ）xxf 2)() 5 . 2005(f A. 0.5B. 1C. 1.5D. 5 . 1 9. 函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中)(xfy )2( xfy 正确的是（ ） A. B. ) 2 7 () 2 5 () 1 (fff) 2 5 () 1 () 2 7 (fff C. D. ) 1 () 2 5 () 2 7 (fff) 2 7 () 1 () 2 5 (fff 10. 设、分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当时，)(xf)(xg0x ，且，则不等式的解集是（ ）)()()()(xgxfxgxf00)3(g)()(xgxf0 A. B. ), 3()0 , 3()3 , 0()0 , 3( C. D. ), 3()3,()3 , 0()3,( 二. 填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11. 定义在 R 上的函数满足，则)(xf2) 2 1 () 2 1 (xfxf) 8 2 () 8 1 (ff 。) 8 7 (f 12. 已知函数，则 。 )0( ,3 )0( ,log )( 2 x xx xf x ) 4 1 ( ff 13. 设，且，那么函数的最大值是 0x0y 2 1 2 yx) 184(log 2 5 1 xyxu 。 14. 已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，)(xf)(xg, 0x 它们的图象如下图，则不等式的解集为 。 )( )( xg xf 0 15. 已知二次函数，若在区间内至少存在12)2(24)( 22 ppxpxxf 1 , 1( 一个实数，使，则实数的取值范围是 。c0)(cfp 16. 设函数，给出下列命题：cbxxxxf|)( （1）时，为奇函数0c)(xfy （2），时，方程只有一个实数根0b0c0)(xf （3）的图象关于点对称)(xfy ), 0(c （4）方程至多两个实数根0)(xf 上述四个命题中所有正确的命题序号为 。 三. 解答题（共 76 分） 17. 已知集合，集合 2 | 3 | xxA ，, 2 3 sin22cos 2 1 |AxxaxyyB 其中，设全集，求实数的取值范围。 a 6 RI AB a 18. 求函数的值域。 （满分 12 分） 2cos 4cos3sin 2 x xx y 19. 已知两个函数，)(168)( 2 Rkkxxxfxxxxg452)( 23 （1）若都有成立，求的取值范围；3 , 3x)()(xgxfk （2）若都有成立，求的取值范围。 （满分 12 分）3 , 3, 21 xx)()( 21 xgxfk 20. 已知奇函数 12 22 )( x x aa xf)(Rx （1）确定的值，并证明在 R 上为增函数；a)(xf （2）若方程在上有解，证明。 （满分 12 分）txf)() 0 , (0)( 3 1 tf 21. 已知函数满足，其中，且。)(xf)( 1 )(log 1 2 xx a a xf a 0a1a （1）对于函数，当时，求实数的取值)(xf) 1 , 1(x0)1 ()1 ( 2 mfmfm 范围； （2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。 （满分)2 ,(x4)(xf) 0 , (a 14 分） 试题答案试题答案 一. 1. A 2. D 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D 二. 11. 7 12. 13. 0 14. 15. 16. 9 1 ), 3 () 0 , 3 ( ) 2 3 , 3( 三. 17. 解：A： 23 x 232 x 6 5 , 6 A B： 6 5 , 6 , 2 3 sin22cos 2 1 xxaxy 2 3 sin2 2 sin21 2 xa x 1sin2sin 2 xax 设，则 ，xtsin 1 , 2 1 t12)( 2 atttfy 1 , 2 1 t 若，则，1 6 a afy 4 5 ) 2 1 ( max 2 min 1)(aafy 4 5 ,1 2 aaBAB 6 5 4 5 6 1 1 6 2 a a a 1 6 a 若，则在上 a112)( 2 atttf 1 , 2 1 afy 4 5 ) 2 1 ( max afy22) 1 ( min 4 5 ,22aaBAB 综上所述： 6 5 4 5 6 22 1 a a a 12 11 a 12 1 , 6 a 18. 解： 定义域：R 2cos 3cos3cos 2cos 4cos3sin 22 x xx x xx y 设，则且 2cosxt 1, 3t2cos tx （）) 1 1 ( 13)2(3)2( 22 t t t tt t tt y 1, 3t 函数在上 t ttg 1 )( 1, 3t 当时， 1, 3t2, 3 10 1 t t 3 7 , 1 y 函数的值域为 2cos 4cos3sin 2 x xx y 3 7 , 1 19. 解： xxxxg452)( 23 4106)( 2 xxxg)253(2 2 xx)23)(1(2xx 令得， 0)( x g1 1 x 3 2 2 x 3x3) 1, 3(1) 3 2 , 1( 3 2 )3 , 3 2 ( + 0 0 + y 极大值 极小值 111y211 27 28 在上，在上kxxxf168)( 2 ) 1,(), 1 （1） 都有成立3 , 3x)()(xgxf 45 111120 27 28 9 64 2124 )3()3( ) 3 2 () 3 2 ( )3()3( k k k k gf gf gf （2） 都有成立3 , 3, 21 xx)()( 21 xgxf ，即 m