高三理科数学 第20讲 数列的实际应用与综合应用.doc

第20讲 数列的实际应用与综合应用【教学目标及教学建议】教学目标：掌握等差数列、等比数列有关的实际应用问题和数列与其它知识的综合应用问题的解法.教学建议：本讲主要题型有：1将实际问题转化等差数列型或等比数列型求解；2数列与其它知识的综合应用问题. 教实际应用问题时，主要引领学生建构数学模型，分清模型结构；教综合应用问题时，主要启发学生寻找解题的切入点，进行决策训练.知识要点1数列实际应用题常见的数学模型（1）复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y =a(1+r)x .（2）产值模型原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y = N (1 + p)x .（3）单利公式利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y = a + arx .（4）递推与猜证型递推型有an+1 = f (an)与Sn+1 = f (Sn)或Sn = f (an)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明.2数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等.习题讲解例1 （2020年山东卷）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和Tn【解析】（1）由已知得：解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得，故数列的通项为(nN*)（2）由于由（1）得，又，是等差数列故，n = 1，2，例2 已知二次函数f (x) = x2 ax + a ( xR)同时满足：不等式f (x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2，使得不等式 f (x1) f (x2)成立. 设数列an的前n项和Sn = f (n).（1）求数列an的通项公式；（2）设各项均不为零的数列bn中，所有满足的正整数i的个数称为这个数列bn的变号数. 令（n为正整数），求数列的变号数.【解析】（1）f (x)0的解集有且只有一个元素，= a2 4a = 0a = 0或a = 4.当a = 0时，函数f (x) = x2在（0，+）上递增，故不存在0x1x2，使得不等式f (x1) f (x2)成立.当a = 4时，函数f (x) = x2 4x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2 f (x2)成立.综上，得a = 4，函数f (x) = x2 4x+4.Sn = n2 4n+4，an = SnSn1 = （2）由题设cn = n3时，=.n3时，数列递增.a4 = 0，由1 ，可知a4a5 1，n)与矛盾，当d0且时，P1，P2，P3，Pn，不共线 （3）能设都在指数函数的图像上，则，令n = 1，则，于是，有唯一解，由，从而满足条件“P1，P2，P3，Pn，互不相同”对于给定的，都能找到一个数列，使得P1，P2，P3，Pn，都在指数函数的图象上 例4 （2020年安徽卷）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n 2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn 1(n2)的递推关系式；（2）求证：Tn = An + Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.【解析】（1）依题设有Tn = Tn 1(1 + r) + an(n2).（2）T1 = a1，对n2反复使用上述关系式，得Tn = Tn 1(1 + r) + an = T n 2(1 + r)2 + a n 1(1 + r) + an = a1(1 + r)n 1 + a2(1 + r) n 2 + + a n 1(1 + r) + an. 在式两端同乘以(1 + r)，得(1 + r)Tn = a1(1 + r)n + a2 (1 + r)n 1 + +an 1(1 + r)2 + an (1 + r) . ，得rTn = a1(1 + r)n + d (1 + r)n 1 + (1 + r) n 2 + + (1 + r) an =(1 + r)n 1 r + a