高三数学导数在函数解中的应用教案

导数应用之面面观导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。本文举例例说明导数在函数问题中的应用，供参考选用。一、研究曲线的切线问题根据函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，即：k ，所以切线方程为y f(x0)（xx0）。例1求过点（2，0）且与曲线y相切的切线方程。解：注意到点（2，0）不是曲线y上的点，故设切点P（x0，y0）因为（x2，所以kx02，所以x02， 又点P（x0，y0）在曲线y上，所以x0y01 由解得x0 1，y01，所以k1，切线方程为x+y20。注意：在求过一点且与曲线相切的直线方程问题时，一定要先搞清点与曲线的位置关系。2、研究运动物体的瞬时速度根据课本引例我们知道：如果物体的运动规律是ss(t)，那么运动物体在某一时刻的瞬时速度就是其运动方程在t0处的导数，这也是导数的一个物理意义之一。例2物体的运动方程是s 。求物体在t3时的速度。解：（ 所以物体在t3时的速度 。五、证明不等式：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效。这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数研究单调性或最值得出不等关系整理得出结论。例3.求证：其中证明：设则即在上是增函数，又当时,有成立。点评：一般地，证明可以构造函数如果，则在上是增函数，同时若由增函数的定义可知，时，有即证明了。四、研究函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一）、利用增（减）函数的定义判断单调性；二）、导数法。利用在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件是（或），恒成立（但在的任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。例4判断函数y=x+cosx在x0，2上的单调性。解：令1sinx0，得x，在0，）中0，且y在0，上连续，故y在0，上单调递增；在（，2中，0，且y在，2上连续，故y在，2上单调递增。五、研究函数的极值如果函数f(x)在x0处连续，且在x0两侧异号，那么x0就是函数f(x)的极值点。一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判断f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近左侧0，右侧0，那么f(x0)是极大值点；（2）如果在x0附近左侧0，右侧0，那么f(x0)是极小值点； 例5求函数y1+3xx3的极值。解：33x2 ，令0，解得x11，x21，当x1时，0，函数y1+3xx3是减函数，当1x1时，0，函数y1+3xx3是增函数，当x1时，0，函数y1+3xx3是减函数，所以当x1时函数y1+3xx3有极小值，极小值为1；当x1时，函数y1+3xx3有极大值，极大值为3。例6已知函数f(x)x33ax2+2bx在x1处有极小值1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。解：3x26ax+2b由 f(1) 13a+2b1 36a+2b0 解得a，bf(x)x3x2x，3x22x1，当x或x1时，0；当 x1时，0因此，在（，）、（1，+）上为增函数；在（，1）上是减函数。六、研究函数的最值最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。函数f(x)在a，b上最大值与最小值的求法：（1）求出f(x)在（a，b）内的极值；（2）将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。例7：已知函数f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)处的切线与直线12xy10平行（1）求实数a的值；（2）求f(x)的单调递减区间；（3）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解：（1） f (x)3x26xa f (1)3a=12,a=9 （2） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（3）因为f(2)81218b=2b，f(2)81218b22b，所以f(2)f(2) 因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增