高考数学 第2讲数形结合思想 新人教版（通用）

第2讲数形结合思想感悟高考 明确考向(2020全国)已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6) C(10,12) D(20,24)解析作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质考查了对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错提醒(1)找不到问题解决的突破口即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质考查了对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错提醒(1)找不到问题解决的突破口即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质考查了对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错提醒(1)找不到问题解决的突破口即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析思想方法概述1 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解5在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用例1 (1)已知：函数f(x)满足下面关系f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2.则方程f(x)lg x解的个数是()A5B7C9D10(2)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为 ()A(1,0)(1，) B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)(2)f(x)为奇函数，f(x)f(x)2f(x)画出y2f(x)的大致图象如图，则f(x)与x异号的区间如图阴影所示，解集为(1,0)(0,1)，故选D.探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标变式训练1 已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x0的解集是()A(3，)(0,1)(，3)B(，1)(0,1)(，3)C(3，1)(0,1)(1,3)D(3，)(0,1)(1,3)解析不等式f(x)cos x0等价于或画出f(x)在(3,3)上的图象，cos x的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(，1)(0,1)(，3)题型二数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用例2 已知a是实数，函数f(x)2a|x|2xa，若函数yf(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_思维启迪函数零点方程的根函数图象交点数形结合解析易知a0，f(x)0，即2a|x|2xa0，变形得|x|x，分别画出函数y1|x|，y2x的图象(如图所示)，由图易知：当01或10时，y1和y2的图象有两个不同的交点，当a1时，函数yf(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(，1)(1，)探究提高 解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁变式训练2 (2020江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k_.解析令y1，y2k(x2)，在同一个坐标系中作出其图象，因k(x2)的解集为a，b且ba2.结合图象知b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)k.题型三数形结合思想在几何中的应用例3 已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值思维启迪同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的SPAC可以有以下多条数形结合的思路解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路方法二利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则|PC|，由勾股定理及|AC|1，得|PA|，从而S四边形PACB2SPAC2|PA|AC|PA|，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2(x1)2(y1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，这个最小值d2()29，(S四边形PACB)min2.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB中的y由3x4y80中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min2.探究提高本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决变式训练3 已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 ()A(，1)B(，1)C(1,2) D(1，2)解析定点Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y1和抛物线y24x的交点，解得这个点的坐标是(，1)律方法总结1利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象2数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解选择题、填空题时更方便，可以提高解题速度3数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)，点到直线的距离公式等. 知能提升演练一、选择题1设全集I是实数集R.Mx|x24与Nx|1都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为()Ax|x2 Bx|2x1Cx|1x2 Dx|2x22设函数f(x)若f(x0)1，则x0的取值范围是 ()A(1,1)B(1，)C(，2)(0，)D(，1)(1，)解析方法一因为f(x0)1，当x0时， 11,2，x01，x01；当x00时， 1，x01.综上，x0的取值范围为(，1)(1，)方法二首先画出函数yf(x)与y1的图象(如图)，解方程f(x)1，得x1，或x1.由图中易得f(x0)1时，所对应x0的取值范围为(，1)(1，)3定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x)，当x3,4时，f(x)x2，则 ()Af(sin)f(cos)Cf(sin 1)f(cos)解析由f(x)f(x2)知T2为f(x)的一个周期，设x1,0，知x43,4，f(x)f(x4)x42x2，画出函数f(x)的图象，如图所示：sinf(cos)；sincosf(sin)cos 1f(sin 1)cosf(sin)f(cos)故选C.4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ()A2 B3 C. D.解析记抛物线y24x的焦点为F，则F(1,0)，注意到直线l2：x1是抛物线y24x的准线，于是抛物线y24x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|，问题即转化为求抛物线y24x上的动点P到直线l1：4x3y60的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即等于2，故选A. 5不等式x2logax0，在x(0，)时恒成立，则a的取值范围是()A0a1 B.a1 D0a解析不等式x2logax0转化为x2logax，由图形知0a1且()2loga，a，故选B.二、填空题6 AB是过椭圆b2x2a2y2a2b2的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则FAB面积的最大值是_解析如图所示，F为椭圆的左焦点，连结AF，BF，则四边形AFBF为平行四边形，SABFSAFF|FF|hbc.当A与短轴端点重合时，(SABF)maxbc.7yf(x)，若不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_解析在平面直角坐标系中作出函数y2xm及yf(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函数y2xm的图象应总在函数yf(x)的图象的下方，因此，当x2时，y4m0，所以m4，所以m的取值范围是4，)8函数f()的最大值为_解析可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P(cos ，sin )与点A(，0)连线的斜率，而点P(cos ，sin )在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A(，0)连线斜率的最大值如图，显然，当P点移动到B点(此时，AB与圆相切)时，AP的斜率最大，最大值为tanBAO1.三、解答题9不等式x2|2x4|p对所有x都成立，求实数p的最大值三、解答题9不等式x2|2x4|p对所有x都成立，求实数p的最大值构造函数f(x)|x2|，g(x)，解不等式f(x)g(x)，即确定使函数yf(x)的图象在函数yg(x)“上方”的点的横坐标x的取值范围，而本题是已知这个范围对一切x成立，求p的最大值如图，y的图象可以由y的图象的顶点在y轴上下移动而得，满足题目条件的解应为y|x2|的图象在y的图象上方的极端情况只有一解2x，即x22x(p4)0，44(p4)0，p3.即p的最大值为3.10已知实系数一元二次方程x2ax2b0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a1)2(b2)2的值域解方程x2a