高考数学 立体几何中轨迹问题的解题策略素材

立体几何中轨迹问题的解题策略-普通高中数学课程标准提出“在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系”，高考大纲也提出了数学整体性和综合性的要求，于是立体几何与解析几何作为几何的两个分支，两者“联姻”而成的题型逐渐成为高考与各省市模拟中的“热点”.这类题型立意新，知识交叉渗透，学生常感到无从下手，本文将通过所求轨迹的种种类型来介绍如何找到这类问题的突破口，顺利解决问题.一、轨迹为点型例1 已知平面平面，直线，点Pl，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线l的距离为的点的轨迹是().A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点分析 设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4.在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上.又在内到直线l的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C.点评 把空间的距离问题转化为平面问题来解决.二、轨迹为直线型例2(2020年北京卷)平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支分析 设l与l1是过点A且与AB垂直的任意的两条直线，则这两条直线确定了一个平面，由题意可得AB，由于过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，因此平面是唯一的.所以动点C都在平面与的交线上.故选A.点评 本题利用公理2求解，熟练掌握立体几何中的公理、定理对于解决问题有很大的帮助.三、轨迹为曲线型(1)轨迹为椭圆例3 在三棱柱ABC-A1B1C1中，二面角A-CC1-B的大小为30，动点M在平面ACC1A1上运动，且M到平面BCC1B1的距离d=MA，则点M的轨迹为()A.直线B.抛物线C.双曲线D.椭圆分析 过M作MN垂直平面BB1C1C于点N，作MD垂直CC1于D，连MD，由三垂线定理可得DNCC1，所以MDN=30，则MD=MN=MA，即，由圆锥曲线第二定义可知点M轨迹为椭圆.故选D.点评 利用二面角为定值这一特点转化为椭圆定义.(2)轨迹为抛物线型例4 (2020年北京高考题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线分析 由C1D1平面BB1C1C，得PC1C1D1，所以PC1就是点P到直线C1D1的距离，因此条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义，点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.小结 以上两个例子均巧妙利用了题中某些定值定量条件，转化为定义法来判定动点轨迹.这其实也是解析几何中求轨迹问题常用的方法之一.(3)轨迹为双曲线型例5 已知，过点P引与直线e成45角的直线交平面于Q，则Q点轨迹是().A.两个点B.双曲线C.椭圆D.抛物线分析 如图4，过P作PO于O点，以过O点与e平行的直线为y一，以OP为z轴建立空间直角坐标系，过Q作OAx轴于A.设Q(x,y,0)，则A(x,0,0)，由于P点固定，不妨设P(0,0,h)，由题意OA=PA，所以y2=x2+h2，故选B.点评 建立空间坐标系把立体几何与解析几何直接联系起来.四、轨迹为空间图形例6 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BAD=60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为().A. B. C. D.分析 由题意，当M或N与D点重合时DP=1，不重合时，M，N，D三点构成直角三角形，DP为斜边上的中点，DP=1.所以P点是以D为球心，半径为1的球在直平行六面体内部的部分.由于ADC=120，所以.故选B.点评 利用MN为定长