高考数学知识模块复习指导学案——导数与微分【知识拓展二】人教版

5什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？首先讨论若p（x）是一个n次多项式由此可知，将n次多项式函数p（x）按着的幂展开，它的多项式的系数由多项式p（x）所确定，即对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f（x）在点存在直到n阶导数，总能写出一个相应的n次多项式多项式称为f（x）在的n次泰勒多项式若用n次泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有：若函数f（x）在含有点的某开区间（a，b）内有直到n1阶导数，则对任意的点x（a，b），有其中称为拉格朗日余项，记作，即上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n1，即是拉格朗日中值定理在上式中，若用泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差是特别地，若在（a，b）上有界，设M0,对，有则误差可表示：从上面可以求出，要求f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数，而因此只须求f（x）在的直到n阶的导数即可思路启迪 x1可以写成x（1），故只需求出f（x）有1点的各级导数即可这个公式称为马克劳林（Maclaurin）公式例2 将f（x）ln（1x）展开为x的幂式（即马克劳林公式）思路启迪 首先求出f（x）在0点的各阶导数，然后代入公式即可规范解法 当x1时，f（x）是连续函数，并有连续的各阶导数：例4 利用ln（1x）展开式的前五项计算ln1.2之值6怎样判别曲线的凹凸性及拐点？由导数的符号，可知函数f（x）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如函数与（图317）在（0，）都是单调增加的，但增加的方式却不同，是向上弯曲的，而是向下弯曲的因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是很有必要的由图318（a）、图318（b）我们可以直观地看到，当动点P沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点P而变化当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上凸的如果一条曲线yf（x）在区间（a，b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线yf（x）在（a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法设f（x）在的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线yf（x）在点的切线为因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为：曲线上横坐标为x的点的纵坐标为：AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图319)(1)当时，则在点的充分小邻域内也大于0，因此ACO，于是C在A之上，换句话说，在M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下凹的(2)当则在点的充分小邻域内也小于0，因此AC0，即点C在A之下，换句话说，在点M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸的(3)当时，可能是正数也可能是负数若x由小于变为大于,不变号，则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的；若x由小于变为大于，变号，则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的此时，点M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点从上面(3)中的可以看出，若是使得的点，则可能是拐点根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线yf(x)凸凹性的步骤：(1)求出yf(x)的定义域D(2)求出，并求出方程的根等(3)用等点将D分成若干个区域，在每个区间上判别的符号若，则在此区间上的曲线是向下凹的；若，则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列表完成)x（，0）000f（x）向下凹1向上凸向下凹拐点（0，1）由上表可知，曲线在（，0）与是向下凹的，在是向上凸的，拐点是（0，1）和，如图3217怎样求曲线的渐近线？我们知道双曲线的渐近线有两条：在作双曲线的图象时，如果能先把两条渐近线作出来，再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象因此如果一条曲线存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于准确描绘函数yf（x）的图象是非常必要的一般地，当曲线yf（x）上的动点P沿着曲线yf（x）无限地运离原点时，若动点P到某一定直线的距离无限地趋于0（如图322），则称直线的曲线yf（x）的渐近线下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线（1）垂直渐近线若或则直线是曲线yf（x）的垂直渐近线（垂直于x轴）思路启迪 求曲线的垂直线渐近线，首先找出使分母为零的点，然后检查函数在这些点两侧附近函数的变化趋势，若当无限接近该点时，函数趋于，则即为垂直渐近线故直线x3与x4都是曲线的垂直渐近线（2）水平渐近线则直线yb为曲线yf（x）的渐近线，称为水平渐近线思路启迪 曲线yf（x）是否存在水平渐近线，就是看当x（或x）时，f（x）是否有有限极限b，若有有限极限b，则yb即为该曲线的水平渐近线否则，就不存在水平渐近线所以y0是曲线的水平渐近线点评 由以上的几个例题可以看到，对于有理分式函数R（x）来说，当分子的最高指数不超过分母的最高指数时，曲线yR（x）有水平渐近线，当分子的最高指数大于分母的最高指数时，曲线yR（x）不存在水平渐近线（3）斜渐近线如图322，设曲线yf（x）的渐近线方程是ykxb，下面我们来确定常数k和b设曲线yf（x）上任意点P（x，f（x）到直线ykxb的距离是|PM|，则由点到直线的距离公式有：直线ykxb是曲线yf（x）的渐近线，当且仅当当且仅当当且仅当若k知道，则b可由上式求出，怎样求k？于是，直线ykxb是曲线yf（x）的渐近线当且仅当因此，若上面两个极限都存在，则曲线yf（x）有斜渐近线ykxb；若上面两个极限至少有一个不存在，则曲线yf（x）不存在斜渐近线思路启迪 检验一条曲线yf（x）是否存在斜渐近线，首先应检验是否为有限数值，若为有限值k，则再检验是否为有限值b，若b为有限值，则曲线yf（x）存在斜渐近线ykxb所以，x1是曲线的垂直渐近线即x-4y-5=0是曲线的斜渐近线例5 求曲线yarctanx的渐近线则x0（即y轴）是曲线的垂直渐近线所以y2x1是曲线的斜渐近线8怎样作函数的图象？在中学数学中，我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象但是，描点法有缺陷，因为描点法中我们所选的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、拐点等可能漏掉；而曲线的重要性态如单调性，凸凹性也没有掌握因此，描点法所描绘的函数图象往往与真实的图象相差甚远现在，我们已经掌握了借助于导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间上升，在哪个区间下降，什么地方是极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间向下凹，在那个区间向上凸，在什么地方是拐点而我们知道了函数图象的升降、凸凹以及极值点和拐点后，由此也可以掌握函数的性态，并由此可以把函数的图象画得比较准确一般地，利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行？（1）确定函数的定义域（2）观察函数yf（x）是否具有某些特性（如奇偶性、周期性）（3）求出函数yf（x）的渐近线（如果有的话）（4）求出函数（5）求出方程及的全部实根，并用这些根把函数的定义域分成若干个区间（列表）（6）判别曲线在第5步所分成区间内的单调性、凸凹性，并确定极值点与拐点（列表）（7）确定一些特殊点，如与坐标轴的交点及某些易算出的点（x，f（x）等（8）画出渐近线，并根据以上所讨论的函数的性态描绘出曲线的图象规范解法 （1）定义域：（，0）（0，）（2）渐近线