高三数学第一轮复习：代数解答题选讲人教实验A版（文）知识精讲

高三数学第一轮复习：代数解答题选讲人教实验A版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：代数解答题选讲二. 重点、难点 1. 三角、向量、综合2. 函数、导数、综合3. 数列、综合【典型例题】例1 在中， 所对边分别为。已知，且。（I）求大小。（II）若求的面积S的大小。解：（I）， 0 （II） 中， 。 的面积 例 2 已知函数的导数为实数，。（I）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（II）在（I）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（III）设函数，试判断函数的极值点个数。解：（I）由已知得，由，得，。 ， 当时，递增；当时，递减。 在区间上的最大值为，。又， 。由题意得，即，得。故，为所求。 （II）解：由（1）得，点在曲线上。（1）当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即。 （2）当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率， 的方程为 。又点在上， ， ， ， ，即，。 切线的方程为。故所求切线的方程为或。 （ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意。）（）解： 。 。 二次函数的判别式为，令，得：令，得 ， 当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点。 例 3 数列中，其前项的和为。（）设，求证：数列是等差数列；（）求的表达式；（）求证：。（I）证明： ，是首项为2，公差为1的等差数列。 （II）解：=， =。 （III）证明： ， 。 。例 4 中，角A、B、C所对的边分别为、，已知（1）求的值；（2）求的面积。解：（1）由，得为锐角， （2） 又，得， （若通过得出，求出，未舍去，得两解，扣2分。）例 5 数列满足，（），且从第二项起是公差为的等差数列， 是的前项和。（1）当时，用与表示与； （2）若在与两项中至少有一项是的最小值，试求的取值范围；（3）若为正整数，在（2）的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比较与的大小。解：（1）由已知，当时，即。 。 （2）解法一：由已知，当时，是等差数列，公差为，数列递增。若是的最小值，则，即，得。 若是的最小值，则，即，得。 当与两项中至少有一项是的最小值时，的取值范围是。 （2）解法二：由（1），当时，且也满足此式， 在与两项中至少有一项是的最小值， ， 解得，从而的取值范围是。 （3）由（2）知，26，若是的最小值，则，即 若是的最小值，即 。例 6 已知二次函数（）。（1）当时，（）的最大值为，求的最小值；（2）对于任意的，总有|。试求的取值范围；（3）若当时，记，令，求证：成立。解：由知故当时取得最大值为，即，所以的最小值为； 对于任意的，总有|，令，则命题转化为，不等式恒成立，当时，使成立； 当时，有 对于任意的恒成立；，则，故要使式成立，则有，又，故要使式成立，则有，由题。综上，为所求。 （3）由题意，令则在时单调递增，。 又，综上，原结论成立。 例 7 已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小解：解法一 由得所以即因为所以，从而由知 从而。由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因为，所以由从而，知B+2C=不合要求。再由，得 所以例 8 在公差为d（d0）的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3。 （1）求数列an与bn的通项公式； （2）令，求数列cn的前n项和Tn。 解：（1）由条件得： （2） 6Tn=6+662+1163+（5n4）6n ： 例 9 定义域为R的偶函数，方程在R上恰有5个不同的实数解。 （1）求x0时，函数的解析式； （2）求实数a的取值范围。 解：（1）设x0为偶函数， （2）为偶函数，=0的根关于0对称。 由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根。 且两个正根和二个负根互为相反数 原命题图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况 即 为单调增函数，故不可能有两实根 a0 令当递减， 处取到极大值 又当要使轴有两个交点当且仅当0解得，故实数a的取值范围（0，）方法二：（2）为偶函数， =0的根关于0对称。 由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根。 且两个正根和二个负根互为相反数 原命题图像与x轴恰有两个不同的交点下面研究x0时的情况与直线交点的个数。 当时，递增与直线y=ax下降或是x国，故交点的个数为1，不合题意 a0由几何意义知与直线y=ax交点的个数为2时，直线y=ax的变化应是从x轴到与相切之间的情形。 设切点 切线方为 由切线与y=ax重合知故实数a的取值范围为（0，）例 10 已知函数，。（1）求函数在内的单调递增区间；（2）若函数在处取到最大值，求的值；（3）若（），求证：方程在内没有实数解。（参考数据：，）解：（1）， 令（）则，由于，则在内的单调递增区间为和；（注：将单调递增区间写成的形式扣1分）（2）依题意，（），由周期性，；（3）函数（）为单调增函数，且当时，此时有；当时，由于，而， 则有，即，即，而函数的最大值为，且（）为单调增函数，则当时，恒有，综上，在恒有，即方程在内没有实数解。 例 11 已知函数（）的图象为曲线。（1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由。解：（1），则，即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是；（2）由（1）可知，解得或，由或得：；（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，则切线方程是：， 化简得：， 而过B的切线方程是， 由于两切线是同一直线， 则有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但当时，由得，这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。-例12 已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，。将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为。（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且数列的前5项成等比数列，求满足的正整数的个数。解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，所以3只可能是数列中的第1，2，3项， 若，则， 若，则，若，则；（注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）（2）首先对元素2进行分类讨论： 若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得，这显然不可能； 若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以，则，因此数列的前5项分别为1，2，4，这样，则数列的前9项分别为1，2，4，8，上述数列符合要求； 若2是数列的第项（），则，即数列的公差，所以，1，2，4，所以1，2，4在数列的前8项中，由于，这样，以及1，2，4共9项，它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。综上所述，其次，当时， ， ，当时， ，因为是公差为的等差数列，所以，所以，此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。【模拟试题】（答题时间：50分钟）1. 已知锐角三角形的三边为连续整数，且角、满足。（1） 求角的取值范围及三边的长；（2） 求的面积。（1） 设的三边为，（，），由题设，2. 已知函数，且。（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）求实数的取值范围，使得关于的方程分别为： 有且仅有一个实数解； 有两个不同的实数解； 有三个不同的实数解。3. 已知向量，若，且。（）试求出和的值； （）求的值。4. 已知数列的前n项和满足，又（）求k的值； （）求；（）是否存在正整数m，n，使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，请说明理由。5. 已知，求函数的单调区间。6. 数列满足递推式，其中，（1）求； （2）若存在一个实数，使得为等差数列，求值； （3）求数列的前项之和。7. 已知函数（1）上存在单调递增区间，求的取值范围。（2）若存在实数，是否存在实数处的切线斜率为0，若存在，求出一组实数a， b， c，若不存在，说明理由。8. 已知，且，数列的前项和为，它满足条件。数列中，。（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围。9. 设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和。试题答案1. 解：由题意，即，得。 当时，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有，得，又，得，解得，舍去； 当时，得，故角所对的边为，角所对的边为，于是有，得，又，得，解得，故的三边长为，。2. 解：（1）由，得， ， 。 （2）由（1），从而，只需研究在上的单调性。当时，。设，且，则， ， ， ，即。 函数在区间上是单调递增函数。 （3）原方程即为 恒为方程的一个解。 若时方程有解，则，解得，由，得 ； 若且时方程有解，则，解得， 由且，得或。 综上可得，当时，方程有且仅有一个解； 当时，方程有两个不同解； 当时，方程有三个不同解。 3. 解：（I） 即 （II）又4. 解：（I） 又 （II）由（I）知 当时， 得 又，且， 于是是等比数列，公比为 所以 （III）由（II）知不等式 整理得 假设存在正整数m，n，使成立，由于为偶数，为整数 所以只能有 因此存在正整数；或，使成立5. 解：=。记只需讨论的正负即可。（1）当当（2）当，当在此区间上是增函数；在区间在此区间上是减函数；当在区间在此区间上是减函数；在区间在此区间上是增函数；当处连续， 在上是减函数；当，在区间在此区间上是减函数； 在区间在此区间上是增函数。6. 解：（1）由，知 （2） （3）由（2）得先求由上两式相减7. 解：（1）当 上存在单调递增区间，即上存在子区间使 （i）当是开口向上的抛物线