高考客观题分析——学生存在的问题及解决方法策略

高考客观题分析学生存在的问题及解决方法一、目前存在的问题：根据45分钟能力小题训练前十份的错误统计，每份试题中错误率最高的试题及错误率如下：训练一11以平行六面体ABCDA1B1C1D1的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率是 ABCD【错误率】61.9%训练二11直线y = kx (k0)平分双曲线x 2 3y 2 = 12的一条弦，且与两条准线分别交于点(- x 0，y 0)，(x 0， 1 2y 0)，则这条弦的斜率为 A3B1C- 3D3【错误率】85%训练三10已知a，b，c是直线，、是平面，给出下列命题：若ab，bc，则a / c；若a / b，bc，则ac；若a / ，b，则a / b；若a与b异面，且a / ，则b与相交；若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是 A1B2C3D4【错误率】57.5%训练四18既不是奇函数，也不是偶函数；若是第一象限的角，则为减函数； 若A是一个三角形的内角，则有最大值，最小值不存在；函数的最小正周期是.上述4个命题中,真命题的序号是 .【错误率】72.5%训练五4P是ABC所在平面上一点，若 = = ，则P是ABC的 A外心B内心C重心D垂心【错误率】54.8%训练六9将1，2，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为 A B C D【错误率】62.5%训练七17椭圆 + = 1(a b 0)的四个顶点为A、B、C、D，且菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是_.【错误率】75%训练八17在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 .【错误率】72.5%训练九9若三棱锥ABCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 【错误率】65%训练十9北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ABCD【错误率】65%这些问题涉及了概率、解析几何、立体几何、平面向量、导数应用、排列组合等知识，也有客观题中得分率较低的多选题，另从综合试卷中还反映出新颖些信息迁移题型错误率也较高。从2020年、2020年及2020年江苏省高考数学试题中客观题的统计来看，2020年客观题中有概率1题，立体几何1题，解析几何2题，平面向量1题，导数应用1题，排列组合1题，共33分。2020年客观题中立体几何2题，解析几何2题平面向量1题，导数应用1题，排列组合1题，共33分。2020年客观题中有概率1题，立体几何1题，解析几何2题，平面向量1题，导数应用1题，排列组合1题，共35分。占总分的23%，占客观题的43.75%，严重影响到学生成绩的提高。二、方法简介：解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如考试说明中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”，该算不算，巧判断. 因而，在解答时应该突出一个选字，尽量减少书写解题过程，在对照选支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择巧法，以便快速智取. 解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.常用方法有：直接法、特例法、筛选法、代入法、图解法、割补法、极限法、估值法等，由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程. 因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。三、例题选讲：（一）新颖客观题：例1对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则 A B C D 思路分析：按定义求出p，q的值解：由得,所以，故选B例2：如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （A）0； （B）1； （C）2； （D）3思路分析：（，）的个数就是到直线l1的距离为p的直线与到直线l2的距离为q的直线的交点的个数，作出满足条件的直线即可解：选（D） 正确，此点为点； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点例3已知an=logn+1（n+2）（nN*），观察下列运算a1a2=log23log34 = = 2，a1 a2a3a4a5a6 = log23log34log67log78 = = 3，定义使a1 a2 a3 ak为整数的k（kN*）叫做企盼数,试确定当a1a2a3ak=2020时，企盼数k=_.解： = 2020，a1 a2 a3 = 2020，k = 2 2020 2.归纳:这是一类新定义型信息题迁移题。新定义型信息题迁移题，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，新定义一个数学问题（新概念或新性质或新运算），并给出已定义的新概念或新性质或新运算所满足的条件，要求同学们应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中从而使问题得到解决的一类题。解这类题的策略是：仔细阅读分析材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理，发现解题方法，然后解决问题。练习题：1已知xR,nN,定义：= x(x1)(x2(xn1)，例如：= (-5)(-4)(-3)= - 60，则函数f（x）cos A是偶函数不是奇函数B是奇函数不是偶函数C既是奇函数、又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数答案：B图42如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为此四边形内任一点P到第条边的距离记为，若.类比以上性质，体积为V三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为，若A. B. C. D. 答案：B3非空集合M关于运算满足：（1）对任意的a,，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称M关于运算为“理想集”现给出下列集合与运算：M非负整数，为整数的加法；M偶数，为整数的乘法；M二次三项式，为多项式的加法；M平面向量，为平面向量的加法；其中M关于运算为“理想集”的是_（只填出相应的序号）答案：4如果函数在区间D上是凸函数，则对区间D上的任意，都有，已知在上是凸函数，那么在ABC中，的最大值为 。答案5为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 A4,6,1,7 B7,6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7思路分析：本题的本质是一种对应，根据对应法则求出a,b,c,d的值解：当接收方收到密文14，9，23，28时，则，解得，解密得到的明文为C（二）概率题：概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，学生易犯错误如下：类型一 “非等可能”与“等可能”混同例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率是_错解 掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，12共11种基本事件，所以概率为P=剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=类型二 “互斥”与“对立”混同例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A对立事件 B不可能事件 C互斥但不对立事件 D以上均不对错解 A剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在 ： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C类型三 “互斥”与“独立”混同例3 甲投篮命中率为O8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是_.错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同解： 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)=P(A)P(B)= 0.169例题讲解：例4某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为05元的纪念品件，其他无任何奖励则中奖20元的概率是_，中奖2元的概率是_；若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心的收入为_.思路分析：本题是等可能事件的概率问题，用等可能事件的概率公式求解解：（1）由已知中奖20元的概率P1=；中奖2元的概率P2= ； 中奖05元的概率P3=（2）由（1）知体彩中心收费为1560元,付出156020+15602+156005=1080，收入=15601080=480元 故知中奖20元、元的概率分别为: 、;估计该中心收入480元 归纳：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.练习题：1口袋里有大小相同的3个红球，2个白球，有放回地摸取一个球，定义数列a n：a n = ，如果S n为数列a n的前n项和，则“S 9 = 5”的概率为 ABCD答案：B2把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进，现投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写着1、2、3、4四个数字，P从A点出发，按照正面体底面上数字前进几个分点，转一周之前继续投掷。则点P恰好返回A点的概率为_.3现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为_ 4袋中有42个乒乓球，其中红色球3个，蓝色球9个，紫色球12个，黄色球18个，从中随机抽取14个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 A B C D答案：C5在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形。如果随机选取3个点，则刚好构成钝角三角形的概率是 A B C D答案：D（三）解析几何：例1（2020年全国卷II）已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是 A2 B6 C4 D12考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.答案：C解：ABC的周长 = 4a = 4.例2如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_.考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.填35.解：由焦半径公式得:a + ex1 + a + ex 2 + + a + ex 7 = 35.例3已知双曲线 - = 1(a 0，b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ABCD考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e(1, )的有关知识.解：tan60= ，2，选C.例4(2020年山东卷)已知抛物线y2=4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y12 + y22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解：当AB的斜率k不存在时，y = 4，y12 + y22 = 32；当AB的斜率k存在时(k0)，设AB的方程为y = k(x 4)，代入抛物线方程得：ky 2 4y 16k = 0，y 1 + y 2 = ，y1y 2 = - 16，y12 + y22 = +32 32，故y12 + y22 的最小值为32.例5过双曲线的右焦点的直线交双曲线于M、N两点，交轴于点，则有的定值为类比双曲线这一结论，在椭圆中，是定值 . 答案归纳：1解析几何的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考2直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现3大多数题涉及到圆锥曲线的定义，在解题时一定要联系相应的概念。练习题：1已知定点A(4，)，若动点P在抛物线y 2 = 4x上，且点P在y轴上的射影为点M，则|PA| - |PM|的最大值是 A5BC4D3答案A2对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，则数列的前项和为_答案-n (n + 1)3已知F1、F2为椭圆E的左右两个焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e，且|PF1|e|PF2|则e的值为 AB2CD2答案C（四）立体几何BACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例1如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为 A、90 B、60 C、45 D、0思路启迪 画出折叠后的图形，可看出GH，IJ是一对异面直线，即求异面直线所成角.过点D分别作IJ和GH的平行线，即AD与DF，所以 ADF即为所求.因此GH与IJ所成角为60，答案:B RrAO1O例2（2020年全国卷）已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO1与R的比值为 .命题目的：球截面的性质；球表面积公式.过程指引：依面积之比可求得，再在RtOO1A中即得解答过程：设小圆半径为r，球半径为R则 cosOAO1而 . 故填例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 A直线 B圆 C 双曲线 D 抛物线解：显然，点P直线C1D1的距离就是点P到点C1的距离，由此，易想到抛物线的定义，故应选D本题将解析几何与立体几何相综合，是非常有特色的创新型的好题答案：D例4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是 A. B. C. D. 解：选D.归纳：常考空间线、面间的位置关系问题、球、简单多面体的有关概念及应用问题，轨迹问题等。通常结合多面体的定义、性质进行判断.练习题：1设两条异面直线m,n互相垂直, 它们的公垂线段长为a, 今有长为2a的线段MN, 其两端点M、N分别在m,n 上移动, 则线段MN中点P的轨迹是 OABCDA. 圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线答案：A2如右图所示, 三条射线OA、OB、OC两两所成的角均为60, 若球D与三条射线都相切, 球心D到三射线端点O的距离为3, 则球D的表面积为_.答案：123如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致形状为 答案C（五）平面向量、排列组合、导数例1已知点A(，1)，B(0，0)，C(，0)设BAC的平分线与相交于，那么有=，其中等于 A2BC- 3D- 解：由已知得=(1 + ) ，且1+0，即 = - 1 ，又 = ，- 1 = 2， = - 3，选C.例2已知为的垂心，下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 答案B例3已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则 A B()C()D()()解：由|t|得|t|2|2展开并整理得t 2 2t + 2 - 1 0恒成立，(- 2) 2 4(2 - 1)0，得( - ) = 0即，选C.例4设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A B C D解：显然，设，则C是I的非空子集，且C中元素不少于2个（当然，也不多于5个）。另一方面，对I的任何一个k（）元子集C，我们可以将C中元素从小到大排列。排好后，相邻数据间共有k1个空档。在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A，隔板后元素组成集合B。这样的A、B一定符合条件，且集合对A，B无重复。综合以上分析，所求为：。选B。例5（2020年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。解：由题意，点评：本题主要考查不全相异元素的全排列例6甲、乙、丙、丁四人传球，刚开始由甲传出，传给其他三人中的任意一个，依此下去，经过四次传球，球仍回到甲手中的传法种数是 A21种B18种C12种D9种解：例7有如图所示的平面区域，现将红、黄、绿三种颜色涂到其中，要求三种颜色都要用，且相邻区域的颜色不同，则不同的涂法共有_种（用数字作答）.例8若曲线y = x 4的一条切线与直线垂直，则的方程为 A B C D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.故选A.例9若对任意，则是_答案：.例10函数的定义域为开区间，导函