高中数学函数概念与基本初等函数（南通中学杨建楠）

函数概念与基本初等函数新旧教材对比及教学建议江苏省南通中学 杨建楠一、新教材的变化（一）、教学内容顺序的变化 新教材采用了对应函数映射的教学顺序，与旧教材的对应映射函数教学的顺序安排相比，更利于学生对知识的理解和掌握；图象在函数的概念中就出现，利于整体上、本质上表现函数的概念，为函数的表示法的展开而“水到渠成”数形的统一。（二）、对函数“三要素”要求的变化了解函数的构成要素，会求一些简单函数的定义域，这也是与原有内容很不同的地方。减弱了求定义域、值域的要求，尤其是避免了一些求定义域和值域的偏题以及与之相关的烦琐的技巧训练。（三）、关于“反函数”的变化削弱了反函数的概念，只以具体函数为例进行解释和直观理解，通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数0,)和对数函数0,)互为反函数。不一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的图象间关于直线对称的性质，只通过具体函数讨论。（四）、关于指、对、幂函数的要求与变化幂、指、对数函数强调作为三种不同的函数增长模型突出背景和应用。安排了“幂增长、指数增长、对数增长的比较。（五）、新增的内容 幂函数、函数与方程、二次函数与一元二次方程、用二分法求方程的近似解幂函数是常见的初等函数之一，增加了幂函数内容有利于处理函数问题；新教材第一章中去掉了一元二次不等式的解法一节，在第二章中增加了函数与方程、二次函数与一元二次方程，使得结构更趋合理；增加二分法求方程近似解是要加强信息技术在教学中的运用。二、新教材设计特点本章立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境数学活动意义建构数学理论数学应用回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。运用集合的观点，理解函数的概念，研究函数的性质，最后利用函数的知识和思想解决相关问题，体会函数与方程的有机联系通过函数知识的学习，使学生进一步感受函数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的本章涉及的数学思想方法又可分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等；二是数学中常用的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。 围绕教育目标和数学思想方法，本章有针对性地进行如下设计：为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本章采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，由浅入深，将函数的知识串联起来，既完善了知识体系完整性、系统性，又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段函数引入中的三个问题：我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的气温变化图，既与初中时学习的函数内容相联系，又蕴含了函数的三种表示方法列表法、解析法、图象法，起到了承上启下的作用这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从数学内部研究函数打下了基础而某城市一天24小时内的气温变化将函数概念、函数的图象、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。为了所有学生都能参与到数学学习中来，激发每一个学生的学习热情和学习兴趣，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力，教材设置了旁白、思考、探究、实验、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间，从而促使教学方式和学生学习方式的改变为了适应学生个性发展的需要，教材在练习的基础上，将习题分为“感受理解、思考运用、探究拓展”三个部分“感受理解”面向全体学生，体现了本章的基本要求，初步理解函数知识，并用来解决一些简单的问题；“思考运用”面向多数学生，深化对函数概念的理解，并能运用函数函数知识解决一些较复杂问题；“探究拓展”为学生提供一些富有挑战性的问题，以激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养。 本章注重信息技术与相关知识的整合。利用信息技术在信息收集、资源获取、数据计算、视觉显示等方面的优势，丰富学习手段，呈现以往教学中难以呈现的课程内容。如在作指数函数、对数函数、幂函数的图象以及探索方程根的存在性与二分法求方程的近似解、数据拟合等活动中，多次利用Excel等现代信息技术，并且通过旁白、阅读等作了使用信息技术的提示，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，感受现代技术手段在数学学习中的作用，促进学习，帮助学生认识数学的本质为了使学生了解掌握函数的基本研究方法，本章多次设计了让学生观察、思考、判断的情境如在函数的单调性、奇偶性的学习过程中，引导学生观察函数的图象，由图象的直观性理解数学的本质，培养学生的观察、判断、抽象、概括能力在基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的性质、方程的解与函数的零点的关系、二分法求方程的近似解等知识点，也进行了多次的探索为了使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，体现数学的文化价值。本章在旁白、阅读材料、探究案例中介绍了无理指数幂、对数的发明者与发展历史及其价值、开普勒、钢琴与指数曲线等，使学生感受到数学对推动社会发展的作用，明白数学的社会需求是数学发展的动力，了解数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观，激发学生学习数学的兴趣在学生的能力培养上，本章也进行了整体设计通过对函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究、思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过揭示对象之间的内在联系，培养学生的辩证思维能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题和交流的能力；通过案例探究，培养学生的创新意识与探究能力；通过实习作业，培养学生的数学建模能力和实践能力三、教材分析及教学建议（一） 函数的概念与图象1 教学目标（1）体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念；（2）了解构成函数的要素有定义域、值域、对应法则，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单地应用；（3）理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判别或证明一些简单函数的单调性；了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（4）了解映射的概念，进一步了解函数是非空数集到非空数集的映射；（5）通过本节的学习，使学生学会用运动、发展、变化的观点认识世界2教学建议（1）函数的概念以生活中的现象为背景，引出描述两个量之间依赖关系的必要性，上承集合，下引函数描述三个问题的方法各不相同，与函数的三种表示方法相对应通过背景设计激发学生在集合的基础上研究两个量之间关系的欲望和兴趣这三个问题是这一章的核心背景，后面将多次引用函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数概念的本质函数概念的引入，一般有两种方式，一种方式是先学习映射，再学习函数；另一种方式是通过具体实例，体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（单值对应），即函数考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，教材采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念 通过本节的学习，使学生养成用运动变化的观点认识世界。在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应“单值对应”是函数对应法则的根本特征。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输进”与“输出”的关系在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系在函数的定义教学时，需突出以下几点：(a)集合A与集合B都是非空数集；(b)对应法则的方向是从A到B；(c)强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词符号f(x)是一个抽象的概念，是对函数概念的深化，可以理解为对应法则f对自变量x作用f(a)是f(x)在xa时的函数值。教学时注意发展学生的数感、符号感。 使学生进一步体会对应关系（对应法则）在刻画函数概念中的核心作用。一般地，如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么，函数的值域也确定了在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法作函数y=f(x) (xA)的图象，就是在直角坐标系内作出点集(x, f(x) | xA或(x, y) | y=f(x), xA。函数y=f(x) (xA)的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的值域。从“形”的角度，进一步加深对函数概念的理解。 教材“阅读”中，力求通过信息技术与课程内容的整合，激发学生对学习的兴趣。应鼓励学生，把现代教育技术作为学习研究和探索解决问题的工具。例如，利用计算器、计算机画出函数的图象，探索、比较函数的变化规律，为研究函数的性质，以及以后学习求方程的近似解、数据拟合等打下基础。 在本节的习题中，注意了复合函数概念的渗透。（2）函数的表示法在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数，理解同一个函数可以用不同的方法表示。第2.1.2节仍然以第2.1.1节开头的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性列表法、解析法和图象法是三种常用的函数表示方法在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举一些社会生活或其他学科中的例子，以加深对函数表示法的理解。列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然。 中学阶段研究的函数主要是用解析式表示的函数，在教学中注意回顾与复习初中所学的内容，如一次函数、二次函数、反比例函数等，为后面学习建立函数模型研究实际问题打基础图象法的优点是能直观地反映函数值的变化随自变量值变化的趋势。 了解简单的分段函数的特点及应用。分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数。分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样。教学过程中，可让学生收集一些实例，诸如邮资、出租车费、电话费等资料。 如果在直角坐标系内给出了函数y=f(x)的图象，那么，求f(a)的值只要作直线x=a与函数y=f(x)的图象交点，所得的点的纵坐标就是f(a)的值。这为后面学习利用函数的图象求解方程做准备。根据实例，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛应用性，培养学生的抽象概括能力和解决问题的能力。（3）函数的简单性质以本节开头问题中的气温曲线引出函数的单调性通过生活实例感受函数单调性与函数奇偶性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力 函数的简单性质包括函数的单调性与函数奇偶性。为了说明函数f(x)在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上，找到两个值x1、x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)(或f(x1)f(x2) )成立函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调。 让学生体会函数最大（小）值与单调性之间的关系及其几何意义，引导学生通过函数的单调性研究最大（小）值。通过已学过的函数特别是二次函数，进一步理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。由实例，通过观察图象，抽象出函数奇偶性的定义。在教学中要注意展现出探索过程，引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系。只要函数的定义域内有一个x值不满足f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），这个函数就不是奇（偶）函数；或只要函数图象上有一个点不满足“关于原点（或y轴）的对称点都在函数的图象上，”这个函数就不是奇（偶）函数。（4）映射概念了解映射的概念。在讲解映射的概念时应指出，映射是函数概念的推广，函数是一类特殊的映射对于映射f：AB而言，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合。关于映射中象与原象的概念，以及映射的分类，一般不要涉及。 函数是两个非空数集之间的映射。（二）指数函数1 教学目标（1）了解指数函数模型的实际背景，认识到学习指数函数的必要性；理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用根式与分数指数幂表示一个正实数的算术根；掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；（2）理解指数函数的含义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质，能利用函数图象的平移与对称变换，讨论指数函数的图象；能运用指数函数的单调性，解决比较两个指数式的大小，会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等，了解函数图象的平移这一最基本的变换方法；在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，能利用现代信息技术手段分析问题、解决问题；（3）引导学生进行观察、分析、抽象、概括，发展学生的思维能力。2教学建议（1）分数指数幂教材通过细胞的分裂的实例，了解指数函数模型的实际背景，感受指数函数模型在现代科技中的应用，体现学习指数运算、指数函数的必要性，激发学生的学习热情细胞的分裂实验是本节的重要背景结合具体实例，回顾整数指数幂的概念及其运算性质，为引入有理数指数幂及其运算性质做准备，便于类比得出实数指数幂的意义及其运算性质。通过实例，了解分数指数幂的意义，以及分数指数幂与根式之间的关系，使学生感受到“n (nN，n2)次方根”实际上就是平方根与立方根的推广。教学时可由平方根与立方根的运算性质类比得到n次方根的性质。在进行根式运算时，应先将根式化成有理数幂，再进行运算。（2）指数函数教材通过考古中利用14C的衰减来测定古物的年代这个例子，激发学生学习指数函数的欲望，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途利用计算机（器）作不同的指数函数的图象，通过观察，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。并关注指数增长趋势与底数的关系。比较两个同底数幂大小，可以利用指数函数的单调性来解决。 对一般的函数图象平移变换来说，h0时，将y=f(x)的图象向右平移h个单位以后，得到y=f(x-h)的图象；向左平移h个单位以后，得到y=f(x+h) 的图象。类似地，还考虑函数y=f(x)h与y=f(x)的图象之间的关系。利用某种放射性物质变化的函数图象，求出它的半衰期，为后面学习利用函数的图象解方程做铺垫。教材给出三个解决实际问题的例题，让学生进一步体会学习指数函数的重要性，感受到指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型在这几个例题的讲解过程中，应体现从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，体会归纳、总结的一般方式、方法还可以让学生自己举一些体现指数函数模型在实际生活中应用的例子，进一步让学生感受到学习指数函数的重要性，以及现代科学技术手段在分析问题、解决问题中的作用（三）对数函数1教学目标（1）理解对数的概念及其运算性质，会熟练地进行指数式与对数式的互化，能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算；了解对数恒等式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简与证明；了解对数的发现历史以及对简化运算的作用（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，使学生感受到科学的发展源于实际生活；初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质（3）知道指数函数yax (a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数；能准确地运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小；能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等（4）让学生感受化归与转化、数形结合的思想，能用相互联系的观点辩证地看问题，培养他们数学地分析问题的意识。 2教学建议（1）对数教材通过具体实例说明研究对数的必要性。 真数底数幂对数指数abNlogaNb使学生能熟练地进行指数式与对数式的互化，理解指数式与对数式的相互关系： 通过具体实例，借助计算机或计算器，探索对数的两个运算性质。要注意对数的运算性质成立的条件，并能灵活地用来简化对数的运算。教学中要注意展现类比联想、观察验证、推理证明的过程。 通过换底公式的应用，体现化归与转化的数学思想。教学时要让学生掌握对数换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并进行一些简单的化简与证明。“阅读”让学生了解对数的发明过程及其对简化运算的作用，激发学生学习数学的兴趣。教师可以提供资料或指导学生阅读有关书籍、查找相关网页，使学生了解对数的发展历史以及在现代生产、科技上的作用，体现数学知识的产生和发展是源于实践而又服务于实践的特点。（2）对数函数教材再次以细胞分裂实验为背景，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并感受研究对数函数的意义。 对照指数函数图象，画出对数函数的图象根据函数ylogax图象的特征，说明其性质，指出y轴是函数ylogax图象的“渐近线”通过对指数函数、对数函数相互关系的研究，加深对函数概念的理解。通过对数函数的图象，观察发现对数函数的性质，提高学生的识图能力，并通过对数函数性质的应用，加深对对数函数性质的理解。关于求函数的反函数知识，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，对求已知函数的反函数也不作要求 通过阅读链接材料，知道反函数的含义，了解一个函数的反函数的求法以及记法，了解函数与其反函数的定义域、值域之间的关系。（四）幂函数1 教学目标（1）了解幂函数的概念，会画幂函数yx，yx2，yx3，y，y的图象，结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质（2）了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小（3）使学生进一步体会数形结合的思想2 教学建议教材通过实例引出幂函数的概念，使学生了解幂函数的模型，了解幂函数与指数函数区别教材通过几个常见的幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，观察、总结出幂函数的变化情况和性质，培养学生的抽象概括能力通过对幂函数的研究，结合一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等具体函数的学习，使学生加深对函数的理解，从而达到掌握和应用函数解决问题的目的利用计算机等工具，进一步感受幂函数与指数函数的本质差异（五）函数与方程1教学目标（1）能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系（2）能够借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的实质（3）体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法2教学建议（1）二次函数与一元二次方程教材通过观察函数图象，给出二次函数与一元二次方程的关系。在判断一元二次方程的实根个数时，应结合二次函数图象的顶点位置以及开口方向，说明判别式的符号与方程根的个数的关系 （2）用二分法求方程的近似解根据具体函数的图象，能够