数学建模减肥模型

摘要摘要 随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养 摄入量的不断改善和提高， “肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。减肥 的方法也有很多。如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理 成为关键。背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南 可知： （1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食 质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利 的影响。 （2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。 （3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需 的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化 为人体所需的能量）所消耗的能量。 （4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为 4200 焦耳。 （5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外 的能量消耗相当于基础代谢的 10%。 关键字关键字 微分方程微分方程 转化转化 能量转换系数能量转换系数 1.1. 问题重述问题重述 随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已 成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人 们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基 本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型, 从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。所以我们可以通过引入人的体 重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数 学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方 法。 现有五个人，身高、体重和 BMI 指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照 以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 表一 人数12345 精选文库 2 身高1.71.681.641.721.71 体重100112113114124 BMI34.633.535.234.835.6 理想目标7580808590 题目要求如下： （1）在基本不运动的情况下安排计划， ，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每 kg 体重的消耗的热量入下表二所示： 表二 运动跑步跳舞乒乓自行车 (中速) 游泳 （50m/min） 热量消耗/k7.03.04.42.57.9 （3）给出达到目标后维持体重的方案。 2.2. 模型假设模型假设 (1) 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对 于一个成年人来说体重主要由四部分组成：骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼、肌肉和 水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂 肪的能量转换率为 100%，每千克脂肪可以转换为 4.2107焦耳的能量。记 =4.2107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。D （2） 人体的体重仅仅看成是时间 的函数，而与其他因素无关，这意味t w t 着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对 减肥的影响。 （3） 体重随时间是连续变化的，即是连续函数且充分光滑，因此可以认 w t 为能量的摄取和消耗是随时发生的。 （4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为 50 千克和 100 千克的人都跑 1000 米，所消耗的能量显然是不同的。可见，活动对能量的消耗也 不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动 计划，我们可以假设在单位时间（1 日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比， 记为每 1 千克体重每天因活动所消耗的能量。B （5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于 人的体重。记 C 为 1 千克体重每天消耗的能量为。 （6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计， 我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，为了安全和健康，每天吸收 热量不要小于 6000 焦耳。k 精选文库 3 3.3.分析与建立模型分析与建立模型 建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设(3)，我们可以在任何一个 时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。 根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变 化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。 考虑时间区间t,t+t内能量的改变，根据能量平衡原理，有 ()( )( )( ) tttt D w ttw tA tBw s dsCw s ds tt 由积分中值定理有 , 其中()( )(),(0,1)w ttw ta tbw ttt ，, 两边同时除以 t.并令 t0 取极限得/aA D BC b D ( ) ( ),0 dw t abw tt dt 这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。我们知道模型的某些假设不十分 合理，但我们希望求解模型，看看能否说明一些问题。 4.4.模型的求解模型的求解 设t=0 为模型的初始时刻，这时人的体重为w（0）=w0。在模型的两边同时乘 以ebt得 ( ) ( ) dw t btbtbt ebw t eae dt 即 ( ) btbt d e w tae dt 从 0 到t积分，并利用初值得 0 (0)ww .00 ( )(1)() btbtbt aaa w tw eewe bbb 对于问题一，减肥计划在基本不运动的情况下安排，所以上述假设（1）每 1 千克 体重每天因活动所消耗的能量。根据上式计算得出五个人要达到自己的理想0B 体重时的天数，如下表所示 表三 人12345 精选文库 4 天数 401392400317312 对于问题二，为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时每 kg 体重消耗的热量表： 运动跑步跳舞乒乓自行车 (中速) 游泳 （50m/min） 热量消 耗/k 7.03.04.42.57.9 为了加快减肥进程，增加运动，假设当每天运动小时，每 1 千克体重每天因活动h 所消耗的能量，时计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，Bh r1h 如下表所示 表四 运动跑步跳舞乒乓自行车游泳 201281247295189 215289258302203 220295263309208 180239214249171 时间/天 185241218251176 从表四可以得出，每天一小时的不同运动似的要达到自己的理想体重时的天数也不 同，其中游泳是最快能达到自己理想体重的运动。 对于问题三，由上面的模型可得,记 , 也就 lim( ) t aA w t bBC * A w BC 是说模型的解渐近稳定于也就是达到目标后维持体重的方案，根据每个人要 * w 维持的理想体重可以得出的值组成的减肥维持体重方案。假设每天维持一ABC、 小时的运动，则每天需要摄入的能量如下表所示J 表五 运动跑步跳舞乒乓自行车游泳 975660085014008940720834450010039020 1040704090681609536768890080010708288 1040704090681609536768890080010708288 11057480963492010132816945710011377556 每天需 要摄入 的能量 J 1170792010201680107288641001340012046824 精选文库 5 5.5.模型推广模型推广 1） 是模型中的一个重要参数。是每天由于能量的摄入而增 a b /aA D 加的体重。是每天由于能量的消耗而失去的体重。 2） 假()/bBCD 设a=0，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而 产生。此时，. 0 ( ) bt w tw e （1）不进食的节食减肥法是危险的。因为, 即体重（脂肪） lim( )0 t w t 都消耗尽了，如何能活命！ （2）当a=0 时，有, 这表明在内体重 00 ( )/1 bt ww twe 0, t 减少的百分率为，称之为内体重消耗率，特别地，是单位1 bt e 0, t1 b e 时间内的体重的消耗率，事实上， (1) 00 (1)( ) b tbtbb w tw ew eew t e 所以. 自然为0，t ( ( )(1)/( )1 b w tw tw te 0 ( )/ bt ew tw 内的体重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率。 基于上面的分析， 时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重中由于能量 t 消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观 上理解也是合理的。 3）由上面的模型可得,记 , 也就是说 lim( ) t aA w t bBC * A w BC 模型的解渐近稳定于，它给出了减肥的最终结果，称 为减肥效果指标。 * w * w 因为衰减很快，在有限时间内， 就很小，可以忽略， bt e 0 (/ ) bt wa b e 当t充分大时，这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥 ( ) aA w t bBC 胖、瘦小） ，从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节 A（进食） 、B（活 动） 、C（新陈代谢） 。同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素： 节食是调节 A、活动是调节 B、减肥药是调节 C。由于 C 是基础代谢和食物特殊动 力的消耗，它不可能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而 精选文库 6 言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得 推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和 活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。这也是熟知的 常识。 容易证明，当且仅当时有 , 这表明只有当时才有 *0 ww0 dw dt *0 ww 可能产生减肥的效果。 4） 进一步讨论能量的摄取量 A 与活动消耗量 B 对减肥效果的影响。由 有在 AB 坐标系内表示一条过点（C，0）斜率为 * A w BC * Aw BwC w*的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理 功能所需要的能量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限 w1，当时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需 *0 ww 要的能量。这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而 称w1为减肥的临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗 也有一个人体所能承受的范围，即存在B1使得 , 于是在 平面上由 1 0BBAB B=0、B=B1和A=0 所界出的上半带形区域被直线和 000 :lAw Bw C 分割成三个区域：、和，这表明减肥的效果 111 :lAw BwC 1 2 3 是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。在区域中，能量的摄取量 1 A大于体重为w0（初始体重）时的消耗量w0（B+C） ，这时体重将在w0基础上继续 增加，故称之为非减肥区；而在区域中，能量的摄取量A低于体w1 时的消耗 3 量w1（B+C） ，体重将减 少到临界减肥指标以下，这将危及人的身体健康，故称 为减肥危险区。只有区域所表示的A和B的组合才能实现有效的减肥，故 3 2 称为有效减肥区。如图 2 精选文库 7 综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。而且，本模型避免了做强度 过大的运动和靠药物来达到增加能量消耗、抑制食欲的不科学的方法。 6 6. .参参考考文文献献 1 张兴永.数学建模简明教程 .徐州: 中国矿业大学出版社 , 2001.60-62 2 姜启源,谢金星数学模型(第三版) 高等教育出版社面 2003. 8 P207 - 210 3 王安利,另眼看减肥(上)健康2006 第一期,P26 -29 4 谢兆鸿. 数学建模技术 . 北京:中国水利水电出版社 ,2003,138-139 附录：matalb %A，假设人体每天摄入的能量 %B，每天运动消耗的能量 %C，每天基本的新陈代谢消耗的能量 %D，脂肪的能量转换系数 A=6000*1000;%每天吸收热量的下限 %B=0; B