高三数学利用递推关系求数列通项公式知识点分析

利用递推关系求数列通项公式教学目标：复习求解数列通项公式的几种常用方法；熟悉几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法，尤其是和类型教学难点：待定系数法等方法求解数列通项教学设计：各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。一.利用与的关系求通项公式1.由得表达式直接求练习1.已知数列的前n项和=，求通项.解: 当时，=-9. 当时，=（）=. 易知时也适合此式，故=.2.转化为通项间的递推关系求解练习2. 已知数列的前n项和=（），求通项.解: 当时，=（）得=当时，由 =（），可得=（）.两式想减得：= 即=则=（），所以 是首项为，公比为的等比数列。故=二. 利用递推关系求数列通项公式类型1 解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解例1. (2020四川文16) 设数列中，则通项 解： ， 将以上各式相加得： 故应填；类型2 解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。例2.已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式叠乘之，即又，类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求解。例3.（2020，重庆,文,14）已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型4 。解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：=,其中，再构造等比数列求解。例4. 已知数列中，求.解：设=3 ,由为一次函数，可知也为一次函数，故设，=3 即.由待定系数法可知，解得。即构成了以为首项，3为公比的等比数列。从而=，故.类型5 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5. (2020全国卷文21改编)在数列中，求。解： 由，两边同除以，得：，易知：，则回顾练习：(2020四川文21) 设数列的前项和为，（）求（）证明： 是等比数列；（）求的通项公式解：由得 （1）知 （2）（2）-（1）得 即，两边同除以，得：，易知：，又因为，所以则故例6.已知数列中，,，求。解：由两边同除以即两边同乘以得：令，则,解之得：所以思考：(2020四川理21) 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即 （1）当时，由（1）知两边同除以，得：，易知：，故当时，由由（1）两边同除以，得： 令，则,构造数列 令则由待定系数法可知则构成了以为首项，为公比的等比数列。 从而则 又可解得：因此小结：类型1 解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解类型2 解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求解。类型4 。解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：=,其中，再构造等比数列求解。类型5 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。作业：1