三角形全等的判定方法——SSA

三角形全等的判定方法SSA探究SSA三角形全等的判定方法的可行情况通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”四种，“SSA”的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA”是成立的，下面开始分类讨论。 一、直角三角形的SSA全等判定有一个特殊的名字“HL”定理1、定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、定理证明HL定理可以用勾股定理证明FEDCBA如图，已知RtABC与RtDEF, B=E=90，AC=DF,AB=DE在RtABC中，BC=AC2-AB，在RtDEF中，EF=DF2-DE ，AC=DF，AB=DE.BC=EF在ABC与DEF中AC=DFBC=EFAB=DEABCDEF（SSS）这样HL定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL定理。那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA成立吗？锐角三角形有三种情况，但三种情况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。二、锐角三角形如图，已知锐角ABC与锐角三角形DEF中，A=D，AB=DE,BC=EFEBFDHCAG证明ABCDEF作AGBC,EHDFAGBC,EHDFAGB=EHD=90在ABG与DEH中AGB=EHDA=DAB=DEABGDEH（AAS）BG=EH（全等三角形对应边相等）在RtBGC与RtEHF中BC=EF BG=EHBGCEHF(HL)C=F（全等三角形对应角相等）在ABC与DEF中C=FA=DAB=DEABCDEF（AAS）通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA成立。那么问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA证明方法在钝角三角形中会不会成立呢？因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。DAHEFGCB三、钝角三角形（情形1.1）如图，已知ABC与DEF,C=F,AC=DF,AB=DE证明ABCDEF作AGGC,DHHFAGGC,DHHFAGC=DHF=90在AGC与DHF中AGC=DHFC=FAC=DFAGCDHF（AAS）AG=DH（全等三角形对应边相等）在RtAGB与RtDHE中AB=DEAG=DHAGBDHE（HL）ABG=DEH（全等三角形对应角相等）180-ABG=180-DEH即ABC=DEF在ABC与DEF中C=FABC=DEFAB=DEABCDEF（AAS）情形1.2如图，已知ABC与DEF,ABC=DEF,AC=DF,AB=DE证明ABCDEF作AGGC,DHHFABC=DEF180-ABC=180-DEF即ABG=DEHAGGC,DHHFAGB=DHE=90 在AGB与DHE中AGB=DHEABG=DEHAB=DEAGBDHE（AAS）AG=DH（全等三角形对应边相等）在RtAGC与RtDHF中AC=DFAB=DEAGCDHF（HL）C=F（全等三角形对应角相等）在ABC与DEF中C=F ABC=DEFAB=DEABCDEF（AAS）GCFEDBA情况2.1H如图，已知ABC与EFG中，AC=EG，AB=EF，C=G证明ABCEFG作ADEH，EHFGADEH，EHFGADC=EHG=90在ADC与EHG中C=GADC=EHGAC=EGADCEHG（AAS）AD=EH（全等三角形对应边相等）ADEH，EHFGABD与EFH均为Rt三角形在RtABD与RtEFH中AB=EFAD=EHRtABDEFH（HL）B=F（全等三角形对应角相等）在ABC与EFG中C=GB=FAB=EFABCEFG（AAS）情形2.2如图，已知ABC与EFG中，AC=EG，AB=EF，B=F证明ABCEFG作ADEH，EHFGADEH，EHFGADC=EHG=90在ADB与EHF中B=FADC=EHGAB=EFADBEHF（AAS）AD=EH（全等三角形对应边相等）ADEH，EHFGADC与EHG均为Rt三角形在RtADC与RtEHG中AC=EGAD=EHRtADCEHG（HL）C=G（全等三角形对应角相等）在ABC与EFG中C=GB=FAB=EFABCEFG（AAS）HGFEDCBA情形3.1如图，已知ABC与EFG中，AC=EG，AB=EF，B=F证明ABCEFG作ADEH，EHFGADEH，EHFGADC=EHG=90在ADB与EHF中B=FADC=EHGAB=EFADBEHF（AAS）AD=EH（全等三角形对应边相等）ADEH，EHFGADC与EHG均为Rt三角形在RtADC与RtEHG中AC=EGAD=EHRtADCEHG（HL）C=G（全等三角形对应角相等）180-C=180-G即ACB=EGF在ABC与EFG中ACB=EGFB=FAB=EFABCEFG（AAS）情形3.2如图，已知ABC与EFG中，AC=EG，AB=EF，ACB=EGF证明ABCEFG作ADEH，EHFGACB=EGF180-ACB=180-EGF即ACD=EGHAGGC,DHHFADC=EHG=90 在ACD与EGH中ACD=EGHADC=EHGAB=EFAGBDHE（AAS）在ACD与EGH中B=F ABC=DEFAC=EGADCEHG（AAS）AD=EH（全等三角形对应边相等）ADEH，EHFGADC与EHG均为Rt三角形在RtADC与RtEHG中AB=EFAD=EHRtADBEHF（HL）C=G（全等三角形对应角相等）在ABC与EFG中C=G B=FAB=EFABCEFG（AAS）这样一来，SSA在钝角三角形中也成立了。综上所述：当两个三角形都是同一种类型的三角形时SSA成立。但是，这并不代表着在证明三角形全等时都可以